グラフを使って連立方程式を解く

点 (2, −1) は 3x − y = 7 と x − 2y = 4 の両方を成り立たせるので、二本の直線が交わる点です。

二つの方程式と一つの順序対

連立一次方程式とは、二つ以上の方程式を組にして考えるものです。二つの方程式の連立方程式の解は、両方の方程式を同時に成り立たせる順序対 (x, y) です。組を確かめるには、それぞれの方程式に代入します。OpenStaxは連立方程式 3x − y = 7 と x − 2y = 4 と、組 (2, −1) を使っています。3(2) − (−1) = 7、2 − 2(−1) = 4 となり、どちらも成り立つので、これは解です。一方の方程式しか満たさない組は、連立方程式の解ではありません。

グラフを使うと、これが絵になります。それぞれの方程式には、すべての解でできた直線があります。両方の直線上にある点は両方の方程式の解なので、連立方程式の解は二直線の交点です。グラフで解くには、それぞれの方程式を傾きと切片の式にし、同じ格子に二本の直線をかいて交点を読みます。OpenStaxの連立方程式では、3x − y = 7 は y = 3x − 7 に、x − 2y = 4 は y = (1/2)x − 2 になります。いっしょにかくと、(2, −1) で交わります。

解は一組、なし、または無数

平面上の二本の直線の交わり方は三通りしかなく、グラフをかく前に傾きでどれかがわかります。傾きがちがう直線はちょうど一点で交わるので、連立方程式の解は一組です。傾きが同じでy切片がちがう直線は平行で交わらないので、解はありません。傾きもy切片も同じ直線は同じ直線で、OpenStaxはこれを一致する直線とよびます。その上のどの点も解なので、解は無数にあります。教科書はこれらの場合にも名前をつけています。解を少なくとも一つもつ連立方程式を consistent（解をもつ）、解をもたないものを inconsistent（不能）といいます。

グラフには限界があります。交点が格子点にあれば答えがはっきりわかりますが、二直線が (1/3, 5/7) で交わるなら、図から自信をもって読みとることはできません。下のグラフラボは交点を分数で正確に計算するので、目で読んだ値がどれだけずれるかがわかります。連立方程式のコースで学ぶ代入法と加減法なら、こうした答えを計算だけで求められます。それでも、連立方程式が何を意味するかを理解するには、グラフがいちばんです。

連立方程式は、比べる問題に答えてくれます。一次方程式のコースでは、架空の二つの携帯電話プランの料金が、xギガバイトで y = 2x + 20 ドルと y = x + 32 ドルでした。連立方程式として見ると、二直線は (12, 44) で交わります。12ギガバイトでは、どちらのプランも44ドルです。この点より左では一つ目の直線が下にあるので一つ目のプランが安く、右では二つ目の直線が下にあります。交点は損益の分かれ目で、その両側でどちらが得かがグラフでひと目でわかります。