Résoudre un système graphiquement

Le point (2, −1) rend vraies à la fois 3x − y = 7 et x − 2y = 4 : c'est donc là que leurs deux droites se coupent.

Deux équations, un couple

Un système d'équations du premier degré, c'est deux équations ou plus considérées ensemble. Une solution d'un système de deux équations est un couple (x, y) qui rend les deux équations vraies en même temps. Pour vérifier un couple, remplace-le dans chaque équation. OpenStax utilise le système 3x − y = 7 et x − 2y = 4 avec le couple (2, −1) : 3(2) − (−1) = 7 et 2 − 2(−1) = 4, donc il convient aux deux et c'est une solution. Un couple qui ne vérifie qu'une des équations n'est pas solution du système.

Le graphique transforme cela en image. Chaque équation a une droite formée de toutes ses solutions. Un point qui appartient aux deux droites est solution des deux équations, donc la solution du système est le point d'intersection des droites. Pour résoudre graphiquement, écris chaque équation sous forme réduite, trace les deux droites dans le même repère et lis l'intersection. Pour le système d'OpenStax, 3x − y = 7 devient y = 3x − 7 et x − 2y = 4 devient y = (1/2)x − 2. Tracées ensemble, elles se coupent en (2, −1).

Une solution, aucune, ou une infinité

Deux droites d'un plan ne peuvent se rencontrer que de trois façons, et les pentes disent laquelle avant même de tracer. Des droites de pentes différentes se coupent en exactement un point, donc le système a une seule solution. Des droites de même pente et d'ordonnées à l'origine différentes sont parallèles et ne se coupent jamais, donc il n'y a pas de solution. Des droites de même pente et de même ordonnée à l'origine sont la même droite, ce qu'OpenStax appelle des droites confondues, et chacun de ses points est une solution, donc il y en a une infinité. Le manuel nomme aussi ces cas : un système qui a au moins une solution est compatible, et un système qui n'en a aucune est incompatible.

La méthode graphique a ses limites. Elle montre clairement la réponse quand l'intersection tombe sur des nœuds de la grille, mais si les droites se coupent en (1/3, 5/7), impossible de le lire sur un dessin avec certitude. Le labo graphique ci-dessous calcule l'intersection exactement, sous forme de fraction, pour que tu voies de combien une lecture à l'œil se tromperait. La substitution et la combinaison, dans le cours sur les systèmes, trouvent ces réponses par le seul calcul. Le graphique reste le meilleur moyen de comprendre ce que signifie un système.

Les systèmes répondent à des questions de comparaison. Dans le cours sur les équations du premier degré, deux forfaits téléphoniques inventés coûtent y = 2x + 20 et y = x + 32 dollars pour x gigaoctets. En système, les droites se rencontrent en (12, 44) : à 12 gigaoctets, les deux forfaits coûtent 44 dollars. À gauche de ce point, la première droite est plus basse, donc le premier forfait est moins cher ; à droite, c'est la seconde droite qui est plus basse. L'intersection est le seuil de rentabilité, et le graphique montre d'un coup d'œil quelle option l'emporte de chaque côté.