Représenter une équation du premier degré

L'équation y = 2x − 1 a une infinité de solutions, comme (0, −1), (1, 1) et (2, 3). Une fois placées, elles sont toutes sur une même droite.

Les solutions sont des couples

Les équations du cours sur les équations du premier degré avaient une seule inconnue et, en général, une seule solution. Une équation comme y = 2x − 1 a deux inconnues, et ses solutions sont des couples de nombres : un x et un y qui rendent l'équation vraie ensemble. Choisis x = 2, calcule y = 2 × 2 − 1 = 3, et le couple (2, 3) est une solution. Choisis x = 0 et tu obtiens (0, −1). Chaque choix de x donne exactement un y, donc il y a une infinité de solutions, bien trop pour les lister. Un graphique les montre toutes d'un coup.

Place plusieurs solutions de y = 2x − 1 : elles sont parfaitement alignées. C'est vrai pour toute équation du premier degré à deux inconnues, c'est-à-dire une équation qui peut s'écrire Ax + By = C avec A et B non tous deux nuls : sa représentation graphique est une droite, et chaque point de la droite est une solution. Les points hors de la droite ne sont pas des solutions. Le graphique est donc une image de l'ensemble des solutions, et lire un point sur la droite revient à lire une solution.

Place trois points, puis trace

Deux points suffisent pour fixer une droite, mais OpenStax conseille d'en trouver trois. Si les trois sont alignés, tu peux être confiant ; si l'un est à côté, un calcul est faux et le troisième point le révèle. Choisis de petites valeurs de x comme −1, 0 et 1, ou des valeurs qui simplifient les calculs. Pour y = (1/2)x + 3, prends des nombres pairs comme 0, 2 et 4, pour que y soit entier : (0, 3), (2, 4), (4, 5). Trace ensuite la droite qui passe par les points, avec des flèches aux deux bouts, car elle continue.

Deux points sont particulièrement rapides à trouver. Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées est celui où x = 0 ; son ordonnée s'appelle l'ordonnée à l'origine. Le point d'intersection avec l'axe des abscisses est celui où y = 0. Pour x + 2y = 6, pose x = 0 pour obtenir 2y = 6 et le point (0, 3) sur l'axe des ordonnées. Pose y = 0 pour obtenir x = 6 et le point (6, 0) sur l'axe des abscisses. Ces deux points plus un point de contrôle donnent un tracé rapide et fiable. Certaines droites sont encore plus simples : y = 4 est une droite horizontale qui passe par tous les points d'ordonnée 4, et x = −2 est une droite verticale.

La droite sert aussi de test. Pour savoir si (3, 5) est une solution de y = 2x − 1, tu peux remplacer, 2 × 3 − 1 = 5, ou regarder : le point est sur la droite. Le point (1, 2) est hors de la droite, et le calcul le confirme, car 2 × 1 − 1 = 1, et non 2. Dans le labo graphique, déplace les curseurs de pente et d'ordonnée à l'origine et regarde les cinq points du tableau suivre la droite ; chacun reste une solution de la nouvelle équation.