Eine lineare Gleichung zeichnen

Die Gleichung y = 2x − 1 hat unendlich viele Lösungen, etwa (0, −1), (1, 1) und (2, 3). Trägt man sie ein, liegen sie alle auf einer Geraden.

Lösungen sind Zahlenpaare

Die Gleichungen im Kurs über lineare Gleichungen hatten eine Variable und meist eine Lösung. Eine Gleichung wie y = 2x − 1 hat zwei Variablen, und ihre Lösungen sind Zahlenpaare: ein x und ein y, die die Gleichung gemeinsam wahr machen. Wähle x = 2, rechne y = 2 × 2 − 1 = 3 aus, und das Zahlenpaar (2, 3) ist eine Lösung. Wähle x = 0, und du erhältst (0, −1). Zu jedem x gehört genau ein y, also gibt es unendlich viele Lösungen, viel zu viele, um sie aufzuzählen. Ein Graph zeigt sie alle auf einmal.

Trag mehrere Lösungen von y = 2x − 1 ein, und sie liegen genau in einer Reihe. Das gilt für jede lineare Gleichung mit zwei Variablen, also jede Gleichung, die sich als Ax + By = C schreiben lässt, wobei A und B nicht beide null sind: Der Graph ist eine Gerade, und jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung. Punkte neben der Geraden sind keine Lösungen. Der Graph ist also ein Bild der Lösungsmenge, und einen Punkt auf der Geraden abzulesen heißt, eine Lösung abzulesen.

Drei Punkte eintragen, dann zeichnen

Zwei Punkte reichen, um eine Gerade festzulegen, aber OpenStax empfiehlt, drei zu bestimmen. Liegen alle drei in einer Reihe, kannst du sicher sein; liegt einer daneben, ist bei einer Rechnung etwas schiefgegangen, und der dritte Punkt zeigt es. Wähle kleine x-Werte wie −1, 0 und 1 oder Werte, mit denen sich leicht rechnen lässt. Für y = (1/2)x + 3 nimmst du gerade Zahlen wie 0, 2 und 4, damit y ganzzahlig wird: (0, 3), (2, 4), (4, 5). Zeichne dann die Gerade durch die Punkte mit Pfeilen an beiden Enden, denn sie geht immer weiter.

Zwei Punkte findet man besonders schnell. Der y-Achsenschnittpunkt ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, dort ist also x = 0. Der x-Achsenschnittpunkt ist die Stelle, an der sie die x-Achse schneidet, dort ist y = 0. Für x + 2y = 6 setzt du x = 0 und erhältst 2y = 6 und den y-Achsenschnittpunkt (0, 3). Setzt du y = 0, erhältst du x = 6 und den x-Achsenschnittpunkt (6, 0). Zwei Achsenschnittpunkte und ein Kontrollpunkt ergeben schnell einen zuverlässigen Graphen. Manche Geraden sind noch einfacher: y = 4 ist eine waagerechte Gerade durch alle Punkte mit der y-Koordinate 4, und x = −2 ist eine senkrechte Gerade.

Die Gerade taugt auch als Test. Ob (3, 5) eine Lösung von y = 2x − 1 ist, kannst du durch Einsetzen prüfen, 2 × 3 − 1 = 5, oder du schaust hin: Der Punkt liegt auf der Geraden. Der Punkt (1, 2) liegt neben der Geraden, und Einsetzen bestätigt das, denn 2 × 1 − 1 = 1, nicht 2. Bewege im Graphen-Labor die Regler für Steigung und y-Achsenabschnitt und sieh zu, wie die fünf Punkte der Tabelle mit der Geraden mitwandern; jeder ist weiterhin eine Lösung der neuen Gleichung.