Normalform: y = mx + b

Bei y = −3x + 5 kannst du den Graphen direkt an der Gleichung ablesen: Starte bei (0, 5), dann 1 nach rechts und 3 nach unten.

Zwei Zahlen, die eine Gerade beschreiben

Löst man eine lineare Gleichung nach y auf, hat sie die Gestalt y = mx + b. Das ist die Normalform der Geradengleichung. OpenStax nennt sie slope-intercept form, weil die beiden Zahlen darin genau die zwei Angaben sind, die du zum Zeichnen brauchst. Der Faktor vor x, m, ist die Steigung. Die Konstante b ist die y-Koordinate des y-Achsenschnittpunkts, die Gerade schneidet die y-Achse also bei (0, b). Für y = −3x + 5 ist die Steigung −3 und der y-Achsenschnittpunkt (0, 5). Eine Wertetabelle brauchst du nicht: Die Gleichung sagt dir schon, wo du anfängst und in welche Richtung es geht.

Um aus der Normalform zu zeichnen, trägst du zuerst den y-Achsenschnittpunkt ein. Dann schreibst du die Steigung als Bruch vertikal/horizontal und zählst sie von diesem Punkt aus ab. Eine Steigung von −3 ist −3/1: eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten, und du landest bei (1, 2). Mach das noch einmal, um (2, −1) zu erreichen, und zeichne die Gerade durch die Punkte. Für y = (2/5)x − 1 startest du bei (0, −1) und gehst 5 nach rechts und 2 nach oben zu (5, 1). Eine negative Steigung kannst du als erst nach unten, dann nach rechts abzählen oder als erst nach oben, dann nach links; beides landet auf derselben Geraden.

Steht eine Gleichung nicht in dieser Form, löst du sie zuerst nach y auf. OpenStax rechnet x + 2y = 6 durch: Subtrahiere x auf beiden Seiten, das ergibt 2y = −x + 6, und teile dann durch 2, das ergibt y = −(1/2)x + 3. Jetzt kannst du die Steigung −1/2 und den y-Achsenschnittpunkt (0, 3) ablesen. Das ist dieselbe Gerade, die du in der vorigen Einheit mit den Achsenschnittpunkten gezeichnet hast, und der x-Achsenschnittpunkt (6, 0) passt: Starte bei (0, 3) und geh dreimal 2 nach rechts und 1 nach unten.

Was m und b in einer Formel bedeuten

Die Form funktioniert mit beliebigen Buchstaben. Die Lehrbuchformel F = (9/5)C + 32 rechnet Grad Celsius in Grad Fahrenheit um. Ihre Steigung 9/5 sagt, dass Fahrenheit um 9 Grad steigt, wenn Celsius um 5 Grad steigt. Ihr Achsenabschnitt 32 sagt, dass 0 °C gleich 32 °F sind. Ein anderes Beispiel von OpenStax beschreibt einen Lieferwagen: C = 0.5m + 60, wobei C die Kosten pro Woche in Dollar sind und m die gefahrenen Meilen. Die 60 Dollar sind Fixkosten, die man auch ohne Fahren zahlt, und 0.5 sind die Kosten pro zusätzlicher Meile. Eine Woche mit 250 Meilen kostet 0.5 × 250 + 60 = 185 Dollar.

Parallele und senkrechte Geraden

Zwei Geraden mit gleicher Steigung und verschiedenen y-Achsenabschnitten treffen sich nie: Sie sind parallel. y = 2x + 1 und y = 2x − 5 sind also parallel, und das siehst du, ohne sie zu zeichnen. Senkrechte Geraden treffen sich im rechten Winkel, und ihre Steigungen sind negative Kehrwerte voneinander: Bruch umdrehen und Vorzeichen wechseln. OpenStax zeigt die Steigungen 1/4 und −4, deren Produkt −1 ist. Dieses Produkt ist bei zwei senkrechten Geraden immer −1, solange keine von ihnen senkrecht zur x-Achse steht. Eine waagerechte und eine senkrechte Gerade stehen auch senkrecht aufeinander, aber die senkrechte hat keine Steigung, die man multiplizieren könnte.