기울기-절편 꼴: y = mx + b

y = −3x + 5는 식만 보고 그래프를 그릴 수 있습니다. (0, 5)에서 시작해 오른쪽으로 1, 아래로 3씩 가면 됩니다.

직선을 정하는 두 수

일차방정식을 y에 대해 풀면 y = mx + b 모양이 됩니다. OpenStax 교재는 이것을 기울기-절편 꼴이라고 부릅니다. 식에 든 두 수가 직선을 그리는 데 필요한 두 가지 정보 그대로이기 때문입니다. x의 계수 m이 기울기이고, 상수 b가 y절편의 y좌표라서 직선은 y축과 (0, b)에서 만납니다. y = −3x + 5의 기울기는 −3, y절편은 (0, 5)입니다. 표를 만들 필요가 없습니다. 어디서 시작해 어느 쪽으로 갈지 식이 이미 말해 주니까요.

이 꼴에서 그래프를 그릴 때는 y절편부터 찍습니다. 그다음 기울기를 분수(세로 변화/가로 변화)로 써서 그 점에서부터 세어 나갑니다. 기울기 −3은 −3/1이니 오른쪽으로 1, 아래로 3을 가서 (1, 2)에 닿습니다. 한 번 더 가면 (2, −1)이고, 점들을 지나는 직선을 긋습니다. y = (2/5)x − 1이면 (0, −1)에서 시작해 오른쪽으로 5, 위로 2를 가서 (5, 1)에 닿습니다. 음수 기울기는 「아래로 가고 오른쪽으로」 세어도, 「위로 가고 왼쪽으로」 세어도 같은 직선 위에 닿습니다.

식이 이 꼴이 아니면 먼저 y에 대해 풉니다. OpenStax 교재의 예 x + 2y = 6을 보겠습니다. 양변에서 x를 빼면 2y = −x + 6, 2로 나누면 y = −(1/2)x + 3입니다. 이제 기울기 −1/2과 y절편 (0, 3)을 읽을 수 있습니다. 지난 단원에서 절편으로 그린 바로 그 직선이고, x절편 (6, 0)도 맞아떨어집니다. (0, 3)에서 오른쪽으로 2, 아래로 1을 세 번 가면 (6, 0)입니다.

공식 속 m과 b의 뜻

이 꼴은 어떤 문자를 써도 통합니다. 교재의 공식 F = (9/5)C + 32는 섭씨를 화씨로 바꿉니다. 기울기 9/5는 섭씨가 5도 오를 때 화씨가 9도 오른다는 뜻이고, 절편 32는 0 °C가 32 °F라는 뜻입니다. OpenStax의 다른 예는 배달용 승합차의 비용입니다. C = 0.5m + 60에서 C는 일주일 비용(달러), m은 달린 거리(마일)입니다. 60달러는 하나도 달리지 않아도 내는 고정비이고, 0.5는 1마일마다 더 드는 비용입니다. 일주일에 250마일을 달리면 0.5 × 250 + 60 = 185달러가 듭니다.

평행한 직선과 수직인 직선

기울기가 같고 y절편이 다른 두 직선은 만나지 않습니다. 평행선입니다. 그래서 y = 2x + 1과 y = 2x − 5는 그려 보지 않아도 평행하다는 것을 압니다. 수직인 두 직선은 직각으로 만나고, 기울기가 서로 「음의 역수」입니다. 분수를 뒤집고 부호를 바꾸면 됩니다. OpenStax 교재는 기울기 1/4과 −4를 예로 들고, 두 수의 곱은 −1입니다. 어느 쪽도 세로선이 아니라면 수직인 두 직선의 기울기를 곱하면 언제나 −1입니다. 가로선과 세로선도 서로 수직이지만, 세로선에는 곱할 기울기가 없습니다.