기울기

경사도 6%인 도로는 가로 100미터마다 6미터 올라갑니다. 기울기로는 6/100 = 3/50입니다.

세로 변화 ÷ 가로 변화

어떤 직선은 가파르게, 어떤 직선은 완만하게 올라가고, 어떤 직선은 내려가거나 가로로 눕습니다. 이 기울어진 정도를 재는 수가 기울기이고, m으로 씁니다. OpenStax 교재는 교실 밖에서 기울기를 만나는 곳으로 지붕의 물매, 도로의 경사도, 휠체어 경사로를 듭니다. 직선의 기울기를 구하려면 직선 위의 두 점을 골라 그 사이에 직각삼각형을 그리고 두 변을 잽니다. 세로로 변한 양이 세로 변화(rise), 가로로 변한 양이 가로 변화(run)이고, 기울기는 m = 세로 변화 ÷ 가로 변화입니다.

좌표가 있으면 칸을 셀 필요가 없습니다. 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂)에서 세로 변화는 y₂ − y₁, 가로 변화는 x₂ − x₁이니 m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)입니다. (−4, −4)와 (4, 2)이면 m = (2 − (−4))/(4 − (−4)) = 6/8 = 3/4입니다. 분자와 분모는 같은 순서로 뺍니다. 둘째 점부터 빼도 두 차이의 부호가 함께 바뀌어 기울기는 같습니다. (−4 − 2)/(−4 − 4) = −6/−8 = 3/4입니다. 기울기가 양수이면 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가고, 음수이면 내려갑니다.

누운 직선과 선 직선

가로선 위의 점은 모두 y좌표가 같아서 어느 두 점 사이든 세로 변화가 0이고, 기울기는 0 ÷ 가로 변화 = 0입니다. 세로선 위의 점은 모두 x좌표가 같아서 가로 변화가 0입니다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않으므로 OpenStax 교재는 세로선의 기울기를 「정의되지 않는다」고 합니다. 둘을 헷갈리지 마세요. y = 4 같은 가로선은 기울기가 0이라는 수이고, x = 3 같은 세로선에는 기울기가 아예 없습니다. 그래프 실험실에서 한 점을 다른 점 바로 위로 끌어 보면 아래 칸이 바로 그렇게 알려 줍니다.

건물과 도로의 기울기

도로의 경사도는 기울기를 퍼센트로 쓴 것입니다. 경사도 6%는 가로 100에 세로 6이라는 뜻이고, 약분하면 3/50입니다. 건축에서는 지붕을 가로 12인치에 몇 인치 올라가는지로 나타냅니다. 4-12 물매는 기울기가 4/12 = 1/3입니다. OpenStax 교재는 휠체어 경사로가 가로 12인치마다 많아야 1인치만 올라가야 한다는 규칙도 소개합니다. 그러니 문까지 24인치를 올라가려면 경사로의 가로 길이가 적어도 24 × 12 = 288인치(24피트)는 되어야 합니다.

부호를 빼고 본 기울기의 크기가 직선이 얼마나 가파른지를 알려 줍니다. 기울기 3은 1/2보다 가파르고, −3은 3과 똑같이 가파르되 올라가는 대신 내려갑니다. 기울기 1은 가로로 간 만큼 세로로 올라가서, 칸이 정사각형인 격자에서는 45도로 기울어집니다. 기울기가 아주 커질수록 직선은 세로에 가까워집니다. 세로선에 기울기가 아예 없는 까닭을 이렇게 볼 수도 있습니다.