직선의 방정식 구하기

두 점 (−2, 1)과 (4, 4)를 지나는 직선은 하나뿐이고, 그 방정식은 y = (1/2)x + 2입니다.

그림에서 거꾸로 식 찾기

지금까지는 방정식에서 출발해 직선을 그렸습니다. 이 단원은 반대 방향입니다. 직선 위의 두 점처럼 직선에 대해 무언가를 알고, 그 방정식을 찾고 싶습니다. 어떤 경우든 결국 기울기 m과 y절편 b라는 두 수를 찾아 y = mx + b로 쓰는 일입니다. 가장 쉬운 경우는 두 수가 모두 주어졌을 때입니다. 기울기가 −2이고 y절편이 (0, 4)인 직선의 방정식은 y = −2x + 4이고, 계산할 것이 없습니다.

기울기와 한 점: 점-기울기 꼴

알고 있는 점이 y축 위에 있지 않을 때가 많습니다. 기울기가 2/3이고 직선이 (3, 1)을 지난다고 해 봅시다. 직선 위의 다른 점 (x, y)는 (3, 1)과 같은 기울기를 이뤄야 하므로 (y − 1)/(x − 3) = 2/3입니다. 양변에 (x − 3)을 곱하면 y − 1 = (2/3)(x − 3)이 됩니다. 이것을 일반적으로 쓴 것이 점-기울기 꼴 y − y₁ = m(x − x₁)이고, (x₁, y₁)이 아는 점입니다. 기울기-절편 꼴로 바꾸려면 분배하고 더합니다. y − 1 = (2/3)x − 2이므로 y = (2/3)x − 1입니다.

같은 결과를 내는 지름길도 있습니다. 그 점을 y = mx + b에 넣고 b에 대해 푸는 것입니다. m = 2/3이고 점이 (3, 1)이면 1 = (2/3)(3) + b, 정리하면 1 = 2 + b이니 b = −1입니다. 어느 방법이든 마지막 식에 아는 점을 넣어 확인합니다. (2/3) × 3 − 1 = 1로 점과 맞습니다. 점-기울기 꼴에서는 부호를 조심하세요. 점이 (−4, 2)이면 x − (−4)가 x + 4이므로 y − 2 = m(x + 4)가 됩니다.

두 점

두 점이 주어지면 먼저 기울기 공식으로 기울기를 구하고, 그다음 위와 같이 어느 한 점을 씁니다. (−2, 1)과 (4, 4)이면 m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2입니다. (−2, 1)을 쓰면 1 = (1/2)(−2) + b, 정리하면 1 = −1 + b이니 b = 2입니다. 직선은 y = (1/2)x + 2입니다. 다른 점으로 확인하면 (1/2)(4) + 2 = 4입니다. 한 점으로 b를 구하고 다른 점으로 확인하는 습관이 좋습니다. 기울기를 잘못 구했다면 확인할 때 어긋나서 드러나기 때문입니다.

평행선과 수직선도 기울기를 빌려 와서 같은 단계를 밟습니다. (1, 5)를 지나고 y = 3x − 1에 평행한 직선은 기울기가 3이므로 5 = 3(1) + b, b = 2입니다. y = 3x + 2입니다. (4, 1)을 지나고 y = 2x + 3에 수직인 직선은 기울기가 −1/2이므로 1 = (−1/2)(4) + b, b = 3입니다. y = −(1/2)x + 3입니다. 그래프 실험실에서 두 점을 격자 어디로든 끌면, 아래 칸이 두 점을 지나는 직선을 두 가지 꼴로 적어 줍니다.