그래프로 연립방정식 풀기

점 (2, −1)은 3x − y = 7과 x − 2y = 4를 모두 참으로 만듭니다. 그래서 두 직선이 만나는 곳이 바로 이 점입니다.

두 방정식, 하나의 순서쌍

연립일차방정식은 방정식 두 개 이상을 함께 생각한 것입니다. 방정식 두 개로 된 연립방정식의 해는 두 방정식을 동시에 참으로 만드는 순서쌍 (x, y)입니다. 순서쌍이 해인지 확인하려면 각 방정식에 넣어 봅니다. OpenStax 교재는 3x − y = 7, x − 2y = 4라는 연립방정식과 순서쌍 (2, −1)을 예로 듭니다. 3(2) − (−1) = 7이고 2 − 2(−1) = 4이므로 두 식을 모두 만족해 해가 맞습니다. 한 식만 만족하는 순서쌍은 연립방정식의 해가 아닙니다.

그래프로 그리면 이것이 그림이 됩니다. 각 방정식에는 그 해가 모두 모인 직선이 있습니다. 두 직선 모두에 있는 점은 두 방정식의 해이므로, 연립방정식의 해는 두 직선이 만나는 점입니다. 그래프로 풀려면 각 식을 기울기-절편 꼴로 바꾸고, 같은 격자에 두 직선을 그린 뒤, 교점을 읽습니다. OpenStax의 예에서 3x − y = 7은 y = 3x − 7이 되고, x − 2y = 4는 y = (1/2)x − 2가 됩니다. 함께 그리면 (2, −1)에서 만납니다.

해가 하나, 없음, 무수히 많음

평면 위의 두 직선이 만나는 방법은 세 가지뿐이고, 그리기 전에 기울기만 보고 어느 경우인지 알 수 있습니다. 기울기가 다른 두 직선은 꼭 한 점에서 만나므로 해가 하나입니다. 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행선이라 만나지 않으므로 해가 없습니다. 기울기와 y절편이 모두 같으면 같은 직선이고, OpenStax 교재는 이를 일치하는 직선이라고 부릅니다. 그 위의 모든 점이 해이므로 해가 무수히 많습니다. 교재는 이 경우들에 이름도 붙입니다. 해가 하나 이상 있으면 일관성 있는(consistent) 연립방정식, 해가 없으면 일관성 없는(inconsistent) 연립방정식입니다.

그래프 풀이에는 한계가 있습니다. 교점이 격자점에 떨어지면 답이 또렷하지만, (1/3, 5/7)에서 만난다면 그림만 보고 자신 있게 읽을 수 없습니다. 아래 그래프 실험실은 교점을 분수로 정확하게 계산하니, 눈으로 읽은 값이 얼마나 어긋날지 비교해 볼 수 있습니다. 이런 답은 연립방정식 과정에서 배우는 대입법과 소거법으로 계산만으로 찾습니다. 그래도 연립방정식이 무엇을 뜻하는지 이해하는 데는 그래프가 가장 좋습니다.

연립방정식은 비교하는 질문에 답합니다. 일차방정식 과정에서 본 지어낸 휴대전화 요금제 두 개는 x기가바이트에 y = 2x + 20달러와 y = x + 32달러였습니다. 연립방정식으로 보면 두 직선은 (12, 44)에서 만납니다. 12기가바이트에서는 두 요금제가 모두 44달러라는 뜻입니다. 그 점보다 왼쪽에서는 첫 직선이 아래에 있어 첫 요금제가 싸고, 오른쪽에서는 둘째 직선이 아래에 있습니다. 교점이 손익분기점이고, 그래프를 보면 그 양쪽에서 어느 쪽이 유리한지 한눈에 보입니다.