Решение систем графически

Точка (2, −1) делает верными и 3x − y = 7, и x − 2y = 4, поэтому именно в ней пересекаются их прямые.

Два уравнения, одна упорядоченная пара

Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, рассматриваемых вместе. Решением системы двух уравнений является упорядоченная пара (x, y), которая делает верными оба уравнения одновременно. Чтобы проверить пару, подставь её в каждое уравнение. OpenStax берёт систему 3x − y = 7 и x − 2y = 4 и пару (2, −1): 3(2) − (−1) = 7 и 2 − 2(−1) = 4, так что она подходит к обоим уравнениям и является решением. Пара, которая удовлетворяет только одному уравнению, решением системы не является.

График превращает это в картинку. У каждого уравнения есть прямая из всех его решений. Точка, лежащая на обеих прямых, является решением обоих уравнений, поэтому решение системы находится в точке пересечения прямых. Чтобы решить систему графически, запиши каждое уравнение в виде с угловым коэффициентом, построй обе прямые на одной сетке и прочитай точку пересечения. Для системы OpenStax 3x − y = 7 превращается в y = 3x − 7, а x − 2y = 4 в y = (1/2)x − 2. Построенные вместе, они пересекаются в (2, −1).

Одно решение, ни одного или бесконечно много

Две прямые на плоскости могут встретиться всего тремя способами, и наклоны говорят, каким, ещё до рисунка. Прямые с разными наклонами пересекаются ровно в одной точке, поэтому у системы одно решение. Прямые с одинаковым наклоном и разными точками пересечения с осью y параллельны и никогда не пересекаются, поэтому решений нет. Прямые с одинаковым наклоном и одинаковой точкой пересечения с осью y являются одной и той же прямой, OpenStax называет их совпадающими, и каждая точка на ней является решением, поэтому решений бесконечно много. Учебник даёт этим случаям и названия: система, у которой есть хотя бы одно решение, называется совместной, а система без решений несовместной.

У графического способа есть предел. Он ясно показывает ответ, когда точка пересечения попадает в узел сетки, но если прямые пересекаются в (1/3, 5/7), уверенно прочитать это по рисунку нельзя. Лаборатория графиков ниже вычисляет точку пересечения точно, в виде дроби, так что видно, насколько ошибся бы взгляд на глаз. Подстановка и сложение, в курсе систем уравнений, находят такие ответы одной алгеброй. И всё же графический способ лучше всего помогает понять, что означает система.

Системы отвечают на вопросы сравнения. В курсе линейных уравнений два придуманных тарифа связи стоят y = 2x + 20 и y = x + 32 долларов за x гигабайт. Как система, прямые встречаются в (12, 44): при 12 гигабайтах оба тарифа стоят 44 доллара. Слева от этой точки первая прямая ниже, поэтому первый тариф дешевле, справа ниже вторая прямая. Точка пересечения является точкой безубыточности, и график сразу показывает, какой вариант выгоднее по каждую сторону от неё.