Resolvendo sistemas pelo gráfico

O ponto (2, −1) torna verdadeiras as duas equações 3x − y = 7 e x − 2y = 4, então é ali que as duas retas se cruzam.

Duas equações, um par ordenado

Um sistema de equações lineares são duas ou mais equações consideradas juntas. Uma solução de um sistema de duas equações é um par ordenado (x, y) que torna as duas equações verdadeiras ao mesmo tempo. Para conferir um par, substitua-o em cada equação. A OpenStax usa o sistema 3x − y = 7 e x − 2y = 4 com o par (2, −1): 3(2) − (−1) = 7 e 2 − 2(−1) = 4, então ele serve para as duas e é uma solução. Um par que satisfaz só uma das equações não é solução do sistema.

O gráfico transforma isso numa imagem. Cada equação tem uma reta formada por todas as suas soluções. Um ponto que está nas duas retas é solução das duas equações, então a solução do sistema é o ponto onde as retas se intersectam. Para resolver pelo gráfico, escreva cada equação na forma reduzida, trace as duas retas na mesma grade e leia a interseção. No sistema da OpenStax, 3x − y = 7 vira y = 3x − 7 e x − 2y = 4 vira y = (1/2)x − 2. Traçadas juntas, elas se cruzam em (2, −1).

Uma solução, nenhuma ou infinitas

Duas retas num plano só podem se encontrar de três jeitos, e as inclinações dizem qual antes de você desenhar. Retas com inclinações diferentes se cruzam em exatamente um ponto, então o sistema tem uma solução. Retas com a mesma inclinação e cortes diferentes no eixo y são paralelas e nunca se cruzam, então não há solução. Retas com a mesma inclinação e o mesmo corte no eixo y são a mesma reta, que a OpenStax chama de retas coincidentes, e todo ponto dela é uma solução, então há infinitas. O livro também dá nome a esses casos: um sistema com pelo menos uma solução é possível, e um sem nenhuma é impossível.

O gráfico tem um limite. Ele mostra a resposta com clareza quando a interseção cai em pontos da grade, mas se as retas se cruzam em (1/3, 5/7) não dá para ler isso num desenho com segurança. O laboratório de gráficos abaixo calcula a interseção exata, em fração, para você ver o quanto uma leitura a olho erraria. A substituição e a adição, no curso de sistemas, acham essas respostas só com álgebra. Mesmo assim, o gráfico continua sendo o melhor jeito de entender o que um sistema significa.

Os sistemas respondem perguntas de comparação. No curso de equações lineares, dois planos de celular inventados custam y = 2x + 20 e y = x + 32 dólares para x gigabytes. Como sistema, as retas se encontram em (12, 44): com 12 gigabytes os dois planos custam 44 dólares. À esquerda desse ponto a primeira reta fica mais baixa, então o primeiro plano é mais barato; à direita, a segunda reta fica mais baixa. A interseção é o ponto de equilíbrio, e o gráfico mostra num relance qual opção ganha de cada lado dele.