Как найти уравнение прямой

Через (−2, 1) и (4, 4) проходит ровно одна прямая, и её уравнение y = (1/2)x + 2.

Обратный путь: от картинки к уравнению

До сих пор ты начинал с уравнения и строил его прямую. Этот урок идёт в обратную сторону: ты что-то знаешь о прямой, например две точки на ней, и хочешь найти её уравнение. Каждый случай сводится к тому, чтобы найти два числа, наклон m и свободный член b, и записать y = mx + b. Проще всего, когда оба даны. Прямая с наклоном −2 и точкой пересечения с осью y (0, 4) имеет уравнение y = −2x + 4, и вычислять нечего.

Наклон и любая точка: уравнение через точку и наклон

Часто известная точка не лежит на оси y. Допустим, наклон равен 2/3, а прямая проходит через (3, 1). Любая другая точка (x, y) прямой должна давать с (3, 1) тот же наклон, поэтому (y − 1)/(x − 3) = 2/3. Умножь обе части на (x − 3) и получишь y − 1 = (2/3)(x − 3). В общем виде это уравнение прямой через точку и наклон, y − y₁ = m(x − x₁), где (x₁, y₁) является известной точкой. Чтобы перейти к уравнению с угловым коэффициентом, раскрой скобки и прибавь: y − 1 = (2/3)x − 2, поэтому y = (2/3)x − 1.

Короткий путь даёт тот же результат: подставь точку в y = mx + b и найди b. При m = 2/3 и точке (3, 1): 1 = (2/3)(3) + b, поэтому 1 = 2 + b и b = −1. Как бы ты ни решал, проверь, подставив известную точку в окончательное уравнение. (2/3) × 3 − 1 = 1, что совпадает с точкой. Следи за знаками в уравнении через точку и наклон. Для точки (−4, 2) оно выглядит как y − 2 = m(x + 4), потому что x − (−4) равно x + 4.

Две точки

Если даны две точки, сначала найди наклон по формуле, затем используй любую точку, как выше. Для (−2, 1) и (4, 4) m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2. С точкой (−2, 1): 1 = (1/2)(−2) + b, поэтому 1 = −1 + b и b = 2. Прямая: y = (1/2)x + 2. Проверь другой точкой: (1/2)(4) + 2 = 4. Полезно находить b по одной точке, а проверять другой, потому что тогда ошибка в наклоне проявится как несовпадение.

Для параллельных и перпендикулярных прямых шаги те же, только наклон заимствуется. Прямая, параллельная y = 3x − 1 и проходящая через (1, 5), имеет наклон 3, поэтому 5 = 3(1) + b и b = 2: y = 3x + 2. Прямая, перпендикулярная y = 2x + 3 и проходящая через (4, 1), имеет наклон −1/2, поэтому 1 = (−1/2)(4) + b и b = 3: y = −(1/2)x + 3. Перетаскивай в лаборатории графиков две точки куда угодно по сетке, и панель запишет обе формы уравнения прямой через них.