Trovare l'equazione di una retta

Per (−2, 1) e (4, 4) passa esattamente una retta, e la sua equazione è y = (1/2)x + 2.

Risalire all'indietro dalla figura

Finora sei partito da un'equazione e hai disegnato la sua retta. Questa unità va nell'altro senso: sai qualcosa di una retta, per esempio due suoi punti, e vuoi la sua equazione. Ogni caso si riduce a trovare due numeri, il coefficiente angolare m e l'intercetta b, e a scrivere y = mx + b. Il caso più facile è quando sono dati entrambi. Una retta con coefficiente angolare −2 e intercetta y (0, 4) ha equazione y = −2x + 4, e non c'è niente da calcolare.

Un coefficiente angolare e un punto qualsiasi: la forma punto-pendenza

Spesso il punto che conosci non sta sull'asse y. Supponi che il coefficiente angolare sia 2/3 e che la retta passi per (3, 1). Ogni altro punto (x, y) della retta deve formare con (3, 1) lo stesso coefficiente angolare, quindi (y − 1)/(x − 3) = 2/3. Moltiplica entrambi i membri per (x − 3) e ottieni y − 1 = (2/3)(x − 3). In generale questa è la forma punto-pendenza, y − y₁ = m(x − x₁), dove (x₁, y₁) è il punto noto. Per arrivare alla forma esplicita, applica la proprietà distributiva e somma: y − 1 = (2/3)x − 2, quindi y = (2/3)x − 1.

Una scorciatoia dà lo stesso risultato: metti il punto in y = mx + b e risolvi rispetto a b. Con m = 2/3 e il punto (3, 1): 1 = (2/3)(3) + b, quindi 1 = 2 + b e b = −1. In entrambi i modi, controlla sostituendo il punto noto nell'equazione finale. (2/3) × 3 − 1 = 1, che coincide con il punto. Attento ai segni nella forma punto-pendenza. Per il punto (−4, 2) la forma è y − 2 = m(x + 4), perché x − (−4) è x + 4.

Due punti

Dati due punti, trova prima il coefficiente angolare con la formula, poi usa uno dei due punti come sopra. Per (−2, 1) e (4, 4), m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2. Usando (−2, 1): 1 = (1/2)(−2) + b, quindi 1 = −1 + b e b = 2. La retta è y = (1/2)x + 2. Controlla con l'altro punto: (1/2)(4) + 2 = 4. È una buona abitudine usare un punto per trovare b e l'altro per controllare, perché così un errore nel coefficiente angolare verrebbe fuori come una discordanza.

Le rette parallele e perpendicolari seguono gli stessi passi con un coefficiente angolare preso in prestito. La retta parallela a y = 3x − 1 che passa per (1, 5) ha coefficiente angolare 3, quindi 5 = 3(1) + b e b = 2: y = 3x + 2. La retta perpendicolare a y = 2x + 3 che passa per (4, 1) ha coefficiente angolare −1/2, quindi 1 = (−1/2)(4) + b e b = 3: y = −(1/2)x + 3. Nel laboratorio dei grafici, trascina i due punti in qualsiasi posto della griglia e il pannello scrive entrambe le forme della retta che passa per loro.