Forma esplicita: y = mx + b

In y = −3x + 5 il grafico si legge direttamente dall'equazione: parti da (0, 5), poi vai 1 a destra e 3 in giù.

Due numeri che descrivono una retta

Quando un'equazione lineare è risolta rispetto a y, prende la forma y = mx + b. In italiano si chiama forma esplicita (OpenStax la chiama forma pendenza-intercetta), perché i due numeri che contiene sono esattamente le due informazioni che servono per disegnare la retta. Il coefficiente di x, m, è il coefficiente angolare. Il termine noto, b, è l'ordinata dell'intercetta y, quindi la retta taglia l'asse y in (0, b). Per y = −3x + 5 il coefficiente angolare è −3 e l'intercetta y è (0, 5). Non serve una tabella: l'equazione ti dice già da dove partire e in che direzione andare.

Per disegnare il grafico dalla forma esplicita, rappresenta prima l'intercetta y. Poi scrivi il coefficiente angolare come frazione salita/avanzamento e contalo a partire da quel punto. Un coefficiente angolare di −3 è −3/1: un'unità a destra e tre in giù, e arrivi a (1, 2). Rifallo per arrivare a (2, −1), e traccia la retta per i punti. Per y = (2/5)x − 1, parti da (0, −1), vai 5 a destra e 2 in su fino a (5, 1). Un coefficiente angolare negativo si può contare come giù e poi destra o come su e poi sinistra; in entrambi i casi arrivi sulla stessa retta.

Se un'equazione non è in questa forma, prima risolvila rispetto a y. OpenStax svolge x + 2y = 6: sottrai x da entrambi i membri e ottieni 2y = −x + 6, poi dividi per 2 e ottieni y = −(1/2)x + 3. Ora puoi leggere il coefficiente angolare, −1/2, e l'intercetta y, (0, 3). È la stessa retta che hai disegnato con le intercette nell'unità precedente, e l'intercetta x (6, 0) torna: parti da (0, 3) e vai tre volte 2 a destra e 1 in giù.

Che cosa significano m e b in una formula

La forma funziona con qualsiasi lettera. La formula dei libri F = (9/5)C + 32 converte i gradi Celsius in Fahrenheit. Il coefficiente angolare, 9/5, dice che i Fahrenheit salgono di 9 gradi ogni 5 gradi Celsius. L'intercetta, 32, dice che 0 °C corrispondono a 32 °F. Un altro esempio di OpenStax descrive un furgone per le consegne: C = 0.5m + 60, dove C è il costo settimanale in dollari e m le miglia percorse. I 60 dollari sono il costo fisso che paghi anche senza guidare, e 0.5 è il costo di ogni miglio in più. Una settimana da 250 miglia costa 0.5 × 250 + 60 = 185 dollari.

Rette parallele e perpendicolari

Due rette con lo stesso coefficiente angolare e intercette y diverse non si incontrano mai: sono parallele. Quindi y = 2x + 1 e y = 2x − 5 sono parallele, e puoi dirlo senza disegnarle. Le rette perpendicolari si incontrano ad angolo retto, e i loro coefficienti angolari sono antireciproci: capovolgi la frazione e cambia il segno. OpenStax mostra i coefficienti angolari 1/4 e −4, il cui prodotto è −1. Quel prodotto è sempre −1 per due rette perpendicolari, purché nessuna delle due sia verticale. Anche una retta orizzontale e una verticale sono perpendicolari, ma quella verticale non ha un coefficiente angolare da moltiplicare.