傾きと切片の式：y = mx + b

y = −3x + 5 なら、式からすぐにグラフが読めます。(0, 5) から始めて、右に1、下に3進みます。

直線を表す二つの数

一次方程式をyについて解くと、y = mx + b の形になります。OpenStaxはこれを傾き・切片形とよびます。この中の二つの数が、直線をかくのに必要な二つの情報そのものだからです。xの係数mが傾きです。定数bはy切片のy座標で、直線は (0, b) でy軸と交わります。y = −3x + 5 なら、傾きは −3、y切片は (0, 5) です。表はいりません。どこから始めてどちらへ進めばいいかを、式がもう教えてくれています。

この形からグラフをかくには、まずy切片をとります。次に傾きを yの増加量/xの増加量 の分数で表し、その点から数えて進みます。傾き −3 は −3/1 なので、右に一つ、下に三つ進むと (1, 2) に着きます。もう一度くり返すと (2, −1) に着くので、点を通る直線をひきます。y = (2/5)x − 1 なら、(0, −1) から始めて右に5、上に2進むと (5, 1) です。傾きが負のときは、下に進んでから右へ、または上に進んでから左へと数えられます。どちらでも同じ直線上に着きます。

方程式がこの形でなければ、まずyについて解きます。OpenStaxは x + 2y = 6 を例にしています。両辺からxをひいて 2y = −x + 6、さらに両辺を2でわって y = −(1/2)x + 3 です。これで傾き −1/2 とy切片 (0, 3) が読めます。前の単元で切片を使ってかいたのと同じ直線で、x切片 (6, 0) とも合います。(0, 3) から右に2、下に1を三回くり返すと着きます。

公式の中のmとbの意味

この形は、どんな文字でも使えます。教科書の公式 F = (9/5)C + 32 は、セ氏温度をカ氏温度に変えます。傾き 9/5 は、セ氏が5度上がるごとにカ氏は9度上がることを表します。切片32は、0 °C が 32 °F であることを表します。OpenStaxの別の例は配達用のバンのモデルです。C = 0.5m + 60 で、Cは一週間の費用（ドル）、mは走った距離（マイル）です。60ドルは、まったく走らなくてもかかる固定費で、0.5は一マイル増えるごとにかかる費用です。250マイル走った週の費用は 0.5 × 250 + 60 = 185 ドルです。

平行な直線と垂直な直線

傾きが同じでy切片がちがう二本の直線は、決して交わりません。平行です。ですから y = 2x + 1 と y = 2x − 5 は、グラフをかかなくても平行だとわかります。垂直な直線は直角に交わり、その傾きは互いに「符号を変えた逆数」になります。分数の上下を入れかえて、符号を変えるのです。OpenStaxは傾き 1/4 と −4 を示していて、その積は −1 です。どちらも垂直な直線（y軸に平行な直線）でないかぎり、垂直に交わる二直線の傾きの積はいつも −1 です。水平な直線と垂直な直線も直角に交わりますが、垂直な直線にはかけ合わせる傾きがありません。