直線の式を求める

(−2, 1) と (4, 4) を通る直線はただ一本で、その式は y = (1/2)x + 2 です。

図から逆にたどる

ここまでは、方程式から始めて直線をかいてきました。この単元では逆に進みます。直線上の二点のように直線について何かがわかっているとき、その式を求めます。どの場合も、傾きmとy切片bの二つの数を求めて y = mx + b と書けばよいのです。いちばん簡単なのは、両方がわかっている場合です。傾き −2、y切片 (0, 4) の直線の式は y = −2x + 4 で、計算することは何もありません。

傾きと一点：点と傾きの式

わかっている点がy軸上にないこともよくあります。傾きが 2/3 で、直線が (3, 1) を通るとしましょう。直線上のほかの点 (x, y) は、(3, 1) との間で同じ傾きになるはずなので、(y − 1)/(x − 3) = 2/3 です。両辺に (x − 3) をかけると y − 1 = (2/3)(x − 3) になります。一般には、これが点と傾きの式 y − y₁ = m(x − x₁) で、(x₁, y₁) はわかっている点です。傾きと切片の式にするには、かっこをはずして移項します。y − 1 = (2/3)x − 2 なので、y = (2/3)x − 1 です。

近道でも同じ結果になります。点を y = mx + b に代入してbについて解くのです。m = 2/3、点 (3, 1) なら、1 = (2/3)(3) + b なので 1 = 2 + b、b = −1 です。どちらの方法でも、わかっている点を最後の式に代入して確かめましょう。(2/3) × 3 − 1 = 1 で、点と一致します。点と傾きの式では符号に注意しましょう。点 (−4, 2) なら、x − (−4) は x + 4 なので、式は y − 2 = m(x + 4) になります。

二点

二点がわかっているときは、まず傾きの公式で傾きを求め、それから上と同じようにどちらかの点を使います。(−2, 1) と (4, 4) なら、m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2 です。(−2, 1) を使うと 1 = (1/2)(−2) + b なので 1 = −1 + b、b = 2 です。直線は y = (1/2)x + 2 です。もう一方の点で確かめると (1/2)(4) + 2 = 4 です。一方の点でbを求め、もう一方で確かめるのはよい習慣です。傾きをまちがえていれば、そこでずれが見つかるからです。

平行な直線や垂直な直線も、借りてきた傾きで同じ手順をふみます。y = 3x − 1 に平行で (1, 5) を通る直線の傾きは3なので、5 = 3(1) + b、b = 2 で、y = 3x + 2 です。y = 2x + 3 に垂直で (4, 1) を通る直線の傾きは −1/2 なので、1 = (−1/2)(4) + b、b = 3 で、y = −(1/2)x + 3 です。グラフラボで二つの点を格子のどこへでもドラッグすると、パネルがその二点を通る直線の式を両方の形で書き出します。