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ホーム›代数›直線のグラフ

一次方程式のグラフをかく

方程式 y = 2x − 1 には (0, −1)、(1, 1)、(2, 3) のように解が無数にあります。点をとると、どれも一本の直線の上に並びます。

解は順序対

一次方程式のコースで扱った方程式は文字が一つで、ふつう解も一つでした。y = 2x − 1 のような方程式には文字が二つあり、その解は数の組です。いっしょに代入したときに方程式を成り立たせるxとyの組です。x = 2 を選ぶと y = 2 × 2 − 1 = 3 となり、順序対 (2, 3) が解になります。x = 0 を選ぶと (0, −1) です。xを一つ選ぶごとにyがちょうど一つ決まるので、解は無数にあり、とても書き出せません。グラフなら、それを一度に全部示せます。

y = 2x − 1 の解をいくつかとると、きれいに一直線に並びます。これは二元一次方程式、つまりAとBが両方ともゼロではない Ax + By = C の形に書ける方程式すべてに成り立ちます。グラフは直線になり、直線上のどの点も解です。直線からはずれた点は解ではありません。つまりグラフは解の集まりの絵で、直線から点を読むことは解を読むことと同じです。

xy = 2x − 1(x, y)
−12(−1) − 1 = −3(−1, −3)
02(0) − 1 = −1(0, −1)
12(1) − 1 = 1(1, 1)
22(2) − 1 = 3(2, 3)

三つの点をとってから直線をひく

直線は二点で決まりますが、OpenStaxは三点を求めることをすすめています。三点が一直線に並べば安心でき、一つがずれていれば計算のどこかがまちがっていて、三つ目の点がそれを教えてくれます。xの値は −1、0、1 のような小さい数や、計算が楽になる数を選びましょう。y = (1/2)x + 3 なら、yが整数になるように 0、2、4 のような偶数を選びます。(0, 3)、(2, 4)、(4, 5) です。直線はどこまでも続くので、点を通る直線をひいて両端に矢印をつけます。

とくに求めやすい点が二つあります。y切片は直線がy軸と交わる点なので、そこでは x = 0 です。x切片はx軸と交わる点なので、そこでは y = 0 です。x + 2y = 6 では、x = 0 とすると 2y = 6 となり、y切片は (0, 3) です。y = 0 とすると x = 6 となり、x切片は (6, 0) です。二つの切片と確かめの点一つで、すばやく確実にグラフがかけます。もっと簡単な直線もあります。y = 4 はy座標が4のすべての点を通る水平な直線で、x = −2 は垂直な直線です。

直線は判定にも使えます。(3, 5) が y = 2x − 1 の解かどうかを調べるには、代入して 2 × 3 − 1 = 5 と確かめてもいいし、点が直線上にあるのを見てもかまいません。点 (1, 2) は直線からはずれていて、代入しても 2 × 1 − 1 = 1 で2にならないので、結果は一致します。グラフラボで傾きと切片のスライダーを動かすと、表の五つの点が直線といっしょに動きます。どの点も新しい方程式の解のままです。

読み込み中

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y = 2x − 1 と、x = −2 から2までの点。赤い点がy切片、緑の点がx切片です。パネルには両方の切片と短い表が表示されます。
  1. (3, 5) は直線 y = 2x − 1 上にありますか？
    • はい
    • いいえ
  2. (1, 2) は直線 y = 2x − 1 上にありますか？
    • はい
    • いいえ
  3. (2, −2) は直線 y = −3x + 4 上にありますか？
    • はい
    • いいえ
  4. y = 2x − 1 で、x = 4 のときのyはいくつですか？
  5. x + 2y = 6 のx切片のx座標はいくつですか？
  6. x + 2y = 6 のy切片のy座標はいくつですか？
  7. 3x − 4y = 12 のx切片のx座標はいくつですか？
  8. 3x − 4y = 12 のy切片のy座標はいくつですか？
  9. y = 4 のグラフはどんな形ですか？
    • 水平な直線
    • 垂直な直線
    • 原点を通る直線
    • 一つの点
  10. 直線は二点で決まるのに、なぜ三つ目の点をとるのですか？
    • 計算まちがいを見つけるため
    • 直線には三点が必要だから
    • 傾きを求めるため
    • 直線を長くするため
ポイント
  • 二元方程式の解は順序対です。
  • 一次方程式のグラフは、すべての解が並んだ直線です。
  • 三つの点を求めましょう。三つ目は確かめです。
  • 切片：y切片は x = 0、x切片は y = 0 を代入します。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Elementary Algebra 2e , chapter 4 Graphs: 4.1 Use the Rectangular Coordinate System (quadrants numbered from the upper right, counterclockwise; ordered pairs: openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/4-1-use-the-rectangular-coordinate-system)
  • 4.2 Graph Linear Equations in Two Variables, 4.3 Graph with Intercepts, 4.4 Understand Slope of a Line (m = rise/run, horizontal 0, vertical undefined, roof pitch, road grade as a percent, wheelchair ramp 1-inch rise per 12-inch run: .../pages/4-4-understand-slope-of-a-line)
  • 4.5 Use the Slope-Intercept Form (x + 2y = 6, F = 9/5 C + 32, parallel lines same slope, perpendicular slopes multiply to −1: .../pages/4-5-use-the-slope-intercept-form-of-an-equation-of-a-line)
  • 4.6 Find the Equation of a Line (point-slope form: .../pages/4-6-find-the-equation-of-a-line)
  • 5.1 Solve Systems of Equations by Graphing (3x − y = 7, x − 2y = 4 and (2, −1); consistent, inconsistent, independent, dependent, coincident lines: .../pages/5-1-solve-systems-of-equations-by-graphing)
  • MacTutor, University of St Andrews, René Descartes biography (La Géométrie, published at Leiden in 1637 as an appendix to the Discours de la méthode: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes)

確認日: 2026-10-17