Graficar una ecuación lineal

La ecuación y = 2x − 1 tiene infinitas soluciones, como (0, −1), (1, 1) y (2, 3). Al representarlas, todas quedan sobre una misma recta.

Las soluciones son pares ordenados

Las ecuaciones del curso de ecuaciones lineales tenían una variable y normalmente una solución. Una ecuación como y = 2x − 1 tiene dos variables, y sus soluciones son pares de números: una x y una y que juntas hacen verdadera la ecuación. Elige x = 2, calcula y = 2 × 2 − 1 = 3, y el par ordenado (2, 3) es una solución. Elige x = 0 y obtienes (0, −1). Cada valor de x da exactamente un valor de y, así que hay infinitas soluciones, demasiadas para enumerarlas. Una gráfica las muestra todas a la vez.

Representa varias soluciones de y = 2x − 1 y verás que quedan perfectamente alineadas. Eso pasa con toda ecuación lineal con dos variables, es decir, una ecuación que se puede escribir como Ax + By = C con A y B no nulos a la vez: su gráfica es una recta, y cada punto de la recta es una solución. Los puntos fuera de la recta no son soluciones. Así que la gráfica es una imagen del conjunto de soluciones, y leer un punto de la recta es lo mismo que leer una solución.

Representa tres puntos y luego traza la recta

Dos puntos bastan para fijar una recta, pero OpenStax recomienda hallar tres. Si los tres están alineados, puedes estar seguro; si uno se sale, algún cálculo falló y el tercer punto lo revela. Elige valores pequeños de x, como −1, 0 y 1, o valores que faciliten las cuentas. Para y = (1/2)x + 3, elige números pares como 0, 2 y 4, para que y salga entera: (0, 3), (2, 4), (4, 5). Después traza la recta que pasa por los puntos con flechas en los dos extremos, porque sigue indefinidamente.

Hay dos puntos especialmente rápidos de hallar. La intersección con el eje y es donde la recta corta el eje y, así que ahí x = 0. La intersección con el eje x es donde corta el eje x, así que ahí y = 0. Para x + 2y = 6, pon x = 0 y obtienes 2y = 6 y la intersección con el eje y, (0, 3). Pon y = 0 y obtienes x = 6 y la intersección con el eje x, (6, 0). Dos intersecciones y un punto de comprobación dan una gráfica rápida y fiable. Algunas rectas son aún más sencillas: y = 4 es una recta horizontal que pasa por todos los puntos con coordenada y igual a 4, y x = −2 es una recta vertical.

La recta también sirve de prueba. Para saber si (3, 5) es solución de y = 2x − 1 puedes sustituir, 2 × 3 − 1 = 5, o puedes mirar: el punto está sobre la recta. El punto (1, 2) queda fuera de la recta, y la sustitución lo confirma, porque 2 × 1 − 1 = 1, no 2. En el laboratorio de gráficas, mueve los controles de pendiente e intersección y observa cómo los cinco puntos de la tabla se desplazan con la recta; cada uno sigue siendo solución de la nueva ecuación.