일차방정식의 그래프 그리기

방정식 y = 2x − 1의 해는 (0, −1), (1, 1), (2, 3)처럼 끝없이 많습니다. 점으로 찍으면 모두 한 직선 위에 놓입니다.

해는 순서쌍입니다

일차방정식 과정의 방정식은 미지수가 하나였고 해도 대개 하나였습니다. y = 2x − 1 같은 방정식은 미지수가 둘이고, 해는 수 두 개의 쌍입니다. 함께 넣었을 때 방정식을 참으로 만드는 x와 y입니다. x = 2를 고르면 y = 2 × 2 − 1 = 3이니 순서쌍 (2, 3)이 해입니다. x = 0을 고르면 (0, −1)이 나옵니다. x를 하나 고를 때마다 y가 꼭 하나 정해지므로 해는 끝없이 많아 다 적을 수 없습니다. 그래프는 이 해를 한꺼번에 보여 줍니다.

y = 2x − 1의 해를 여러 개 찍으면 정확히 한 줄로 늘어섭니다. Ax + By = C(A와 B가 둘 다 0은 아님) 꼴로 쓸 수 있는 미지수가 두 개인 일차방정식은 모두 그렇습니다. 그래프는 직선이고, 직선 위의 모든 점이 해입니다. 직선 밖의 점은 해가 아닙니다. 그러니 그래프는 해 전체를 그린 그림이고, 직선에서 점 하나를 읽는 것은 해 하나를 읽는 것과 같습니다.

점 세 개를 찍고 긋기

직선을 정하는 데는 점 두 개면 충분하지만, OpenStax 교재는 세 개를 찾으라고 권합니다. 세 점이 한 줄에 서면 안심할 수 있고, 하나가 어긋나면 계산 어딘가가 틀렸다는 것을 셋째 점이 알려 줍니다. x는 −1, 0, 1처럼 작은 수나 계산이 쉬워지는 수를 고릅니다. y = (1/2)x + 3이면 0, 2, 4처럼 짝수를 골라야 y가 정수로 나옵니다. (0, 3), (2, 4), (4, 5)입니다. 그다음 점들을 지나는 직선을 긋고 양 끝에 화살표를 붙입니다. 직선은 끝없이 이어지기 때문입니다.

특히 빨리 찾을 수 있는 점이 두 개 있습니다. y절편은 직선이 y축과 만나는 곳이라 x = 0입니다. x절편은 x축과 만나는 곳이라 y = 0입니다. x + 2y = 6에 x = 0을 넣으면 2y = 6이라 y절편은 (0, 3)입니다. y = 0을 넣으면 x = 6이라 x절편은 (6, 0)입니다. 절편 두 개와 확인용 점 하나면 빠르고 믿을 만한 그래프가 됩니다. 더 간단한 직선도 있습니다. y = 4는 y좌표가 4인 모든 점을 지나는 가로선이고, x = −2는 세로선입니다.

직선은 시험 도구로도 쓸 수 있습니다. (3, 5)가 y = 2x − 1의 해인지 알고 싶으면 2 × 3 − 1 = 5처럼 대입해도 되고, 그래프를 봐도 됩니다. 점이 직선 위에 있습니다. (1, 2)는 직선 밖에 있고, 대입해 보면 2 × 1 − 1 = 1이라 2가 아니니 결과가 같습니다. 그래프 실험실에서 기울기와 절편 슬라이더를 움직이면 표의 점 다섯 개가 직선을 따라 움직입니다. 점 하나하나가 새 방정식의 해입니다.