Il grafico di un'equazione lineare

L'equazione y = 2x − 1 ha infinite soluzioni, come (0, −1), (1, 1) e (2, 3). Rappresentate, stanno tutte su una stessa retta.

Le soluzioni sono coppie ordinate

Le equazioni del corso sulle equazioni di primo grado avevano un'incognita e di solito una soluzione. Un'equazione come y = 2x − 1 ha due variabili, e le sue soluzioni sono coppie di numeri: una x e una y che insieme rendono vera l'equazione. Scegli x = 2, calcola y = 2 × 2 − 1 = 3, e la coppia ordinata (2, 3) è una soluzione. Scegli x = 0 e ottieni (0, −1). Ogni scelta di x dà esattamente una y, quindi le soluzioni sono infinite, troppe da elencare. Un grafico le mostra tutte insieme.

Rappresenta diverse soluzioni di y = 2x − 1 e si allineano perfettamente. Vale per ogni equazione lineare in due variabili, cioè un'equazione che si può scrivere come Ax + By = C con A e B non entrambi zero: il grafico è una retta, e ogni punto della retta è una soluzione. I punti fuori dalla retta non sono soluzioni. Quindi il grafico è un'immagine dell'insieme delle soluzioni, e leggere un punto sulla retta equivale a leggere una soluzione.

Rappresenta tre punti, poi traccia la retta

Due punti bastano per individuare una retta, ma OpenStax consiglia di trovarne tre. Se tutti e tre sono allineati puoi stare tranquillo; se uno è fuori, un calcolo è sbagliato e il terzo punto lo mostra. Scegli valori di x piccoli come −1, 0 e 1, oppure valori che rendano facili i conti. Per y = (1/2)x + 3, scegli numeri pari come 0, 2 e 4, così y viene intera: (0, 3), (2, 4), (4, 5). Poi traccia la retta per i punti con le frecce a entrambe le estremità, perché continua.

Due punti si trovano particolarmente in fretta. L'intercetta y è il punto in cui la retta taglia l'asse y, quindi lì x = 0. L'intercetta x è dove taglia l'asse x, quindi lì y = 0. Per x + 2y = 6, metti x = 0 e ottieni 2y = 6 e l'intercetta y (0, 3). Metti y = 0 e ottieni x = 6 e l'intercetta x (6, 0). Due intercette e un punto di controllo danno un grafico veloce e affidabile. Alcune rette sono ancora più semplici: y = 4 è una retta orizzontale che passa per tutti i punti con ordinata 4, e x = −2 è una retta verticale.

La retta funziona anche come test. Per decidere se (3, 5) è una soluzione di y = 2x − 1 puoi sostituire, 2 × 3 − 1 = 5, oppure guardare: il punto sta sulla retta. Il punto (1, 2) è fuori dalla retta, e la sostituzione lo conferma, perché 2 × 1 − 1 = 1, non 2. Nel laboratorio dei grafici, sposta i cursori del coefficiente angolare e dell'intercetta e guarda i cinque punti della tabella muoversi con la retta; ognuno resta una soluzione della nuova equazione.