De vergelijking van een lijn vinden

Door (−2, 1) en (4, 4) gaat precies één lijn, met vergelijking y = (1/2)x + 2.

Terugwerken vanuit de tekening

Tot nu toe begon je met een vergelijking en tekende je de bijbehorende lijn. In dit hoofdstuk werk je andersom: je weet iets over een lijn, bijvoorbeeld twee punten erop, en wilt de vergelijking vinden. Elk geval komt neer op het vinden van twee getallen, de richtingscoëfficiënt m en het snijpunt met de y-as b, en het opschrijven van y = mx + b. Het eenvoudigst is het wanneer beide gegeven zijn. Een lijn met richtingscoëfficiënt −2 en snijpunt met de y-as (0, 4) heeft vergelijking y = −2x + 4, en er valt niets te berekenen.

Een richtingscoëfficiënt en een willekeurig punt: de punt-richtingsvorm

Vaak ligt het bekende punt niet op de y-as. Stel dat de richtingscoëfficiënt 2/3 is en de lijn door (3, 1) gaat. Elk ander punt (x, y) op de lijn moet met (3, 1) dezelfde richtingscoëfficiënt opleveren, dus (y − 1)/(x − 3) = 2/3. Vermenigvuldig beide leden met (x − 3) en je krijgt y − 1 = (2/3)(x − 3). In het algemeen is dit de punt-richtingsvorm, y − y₁ = m(x − x₁), waarin (x₁, y₁) het bekende punt is. Om de vorm y = mx + b te bereiken, werk je de haakjes weg en tel je op: y − 1 = (2/3)x − 2, dus y = (2/3)x − 1.

Een kortere weg geeft hetzelfde resultaat: vul het punt in y = mx + b in en los op naar b. Met m = 2/3 en het punt (3, 1): 1 = (2/3)(3) + b, dus 1 = 2 + b en b = −1. Controleer bij beide manieren door het bekende punt in je uiteindelijke vergelijking in te vullen. (2/3) × 3 − 1 = 1, wat overeenkomt met het punt. Let op de tekens in de punt-richtingsvorm. Voor het punt (−4, 2) luidt die y − 2 = m(x + 4), want x − (−4) is x + 4.

Twee punten

Zijn twee punten gegeven, bepaal dan eerst de richtingscoëfficiënt met de formule en gebruik vervolgens een van beide punten zoals hierboven. Voor (−2, 1) en (4, 4) is m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2. Met (−2, 1): 1 = (1/2)(−2) + b, dus 1 = −1 + b en b = 2. De lijn is y = (1/2)x + 2. Controleer met het andere punt: (1/2)(4) + 2 = 4. Gebruik bij voorkeur één punt om b te vinden en het andere om te controleren, want een fout in de richtingscoëfficiënt zou dan een afwijking opleveren.

Voor evenwijdige en loodrechte lijnen gebruik je dezelfde stappen, met een overgenomen richtingscoëfficiënt. De lijn evenwijdig aan y = 3x − 1 door (1, 5) heeft richtingscoëfficiënt 3, dus 5 = 3(1) + b en b = 2: y = 3x + 2. De lijn loodrecht op y = 2x + 3 door (4, 1) heeft richtingscoëfficiënt −1/2, dus 1 = (−1/2)(4) + b en b = 3: y = −(1/2)x + 3. Versleep in het grafieklab de twee punten naar een willekeurige plek op het rooster. Op het paneel zie je beide vormen van de lijn door die punten.