Équation réduite : y = mx + b

Dans y = −3x + 5, on lit le graphique directement dans l'équation : pars de (0, 5), puis avance de 1 vers la droite et descends de 3.

Deux nombres qui décrivent une droite

Quand on résout une équation du premier degré par rapport à y, elle prend la forme y = mx + b. OpenStax l'appelle la forme pente-ordonnée à l'origine (en France, on parle d'équation réduite), car ses deux nombres sont exactement les deux informations nécessaires pour tracer la droite. Le coefficient de x, m, est la pente. La constante, b, est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées en (0, b). Pour y = −3x + 5, la pente vaut −3 et la droite coupe l'axe des ordonnées en (0, 5). Pas besoin de tableau : l'équation dit déjà où commencer et dans quelle direction aller.

Pour tracer à partir de cette forme, place d'abord le point d'intersection avec l'axe des ordonnées. Écris ensuite la pente comme une fraction montée/avancée et reporte-la depuis ce point. Une pente de −3, c'est −3/1 : une unité vers la droite et trois vers le bas, ce qui mène à (1, 2). Recommence pour atteindre (2, −1), et trace la droite qui passe par les points. Pour y = (2/5)x − 1, pars de (0, −1), avance de 5 vers la droite et monte de 2 jusqu'à (5, 1). Une pente négative peut se reporter soit en descendant puis en allant à droite, soit en montant puis en allant à gauche ; on tombe sur la même droite.

Si une équation n'est pas sous cette forme, résous-la d'abord par rapport à y. OpenStax traite x + 2y = 6 : soustrais x des deux côtés pour obtenir 2y = −x + 6, puis divise par 2 pour obtenir y = −(1/2)x + 3. Tu peux maintenant lire la pente, −1/2, et le point d'intersection avec l'axe des ordonnées, (0, 3). C'est la même droite que celle tracée avec les intersections dans l'unité précédente, et le point (6, 0) concorde : pars de (0, 3) et avance de 2 vers la droite et de 1 vers le bas trois fois.

Ce que signifient m et b dans une formule

Cette forme marche avec n'importe quelles lettres. La formule du manuel F = (9/5)C + 32 convertit les degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Sa pente, 9/5, dit que la température Fahrenheit augmente de 9 degrés pour chaque hausse de 5 degrés Celsius. Son ordonnée à l'origine, 32, dit que 0 °C correspond à 32 °F. Un autre exemple d'OpenStax modélise une camionnette de livraison : C = 0.5m + 60, où C est le coût hebdomadaire en dollars et m le nombre de miles parcourus. Les 60 dollars sont le coût fixe qu'on paie même sans rouler, et 0.5 est le coût de chaque mile en plus. Une semaine de 250 miles coûte 0.5 × 250 + 60 = 185 dollars.

Droites parallèles et perpendiculaires

Deux droites de même pente et d'ordonnées à l'origine différentes ne se rencontrent jamais : elles sont parallèles. Donc y = 2x + 1 et y = 2x − 5 sont parallèles, et on le sait sans les tracer. Des droites perpendiculaires se coupent à angle droit, et leurs pentes sont des inverses opposés : on retourne la fraction et on change le signe. OpenStax montre les pentes 1/4 et −4, dont le produit vaut −1. Ce produit vaut toujours −1 pour deux droites perpendiculaires, du moment qu'aucune n'est verticale. Une droite horizontale et une droite verticale sont aussi perpendiculaires, mais la verticale n'a pas de pente à multiplier.