Steigung

Eine Straße mit 6% Steigung steigt auf 100 Meter waagerechte Strecke um 6 Meter: eine Steigung von 6/100 = 3/50.

Vertikaler durch horizontalen Unterschied

Manche Geraden steigen steil an, manche sanft, manche fallen und manche liegen flach. Die Zahl, die diese Neigung misst, ist die Steigung, geschrieben m. OpenStax nennt Orte, an denen sie dir außerhalb des Klassenzimmers begegnet: die Neigung eines Dachs, die Steigung einer Fernstraße und eine Rampe für Rollstühle. Um die Steigung einer Geraden zu finden, wählst du zwei Punkte auf ihr, zeichnest das rechtwinklige Steigungsdreieck zwischen ihnen und misst zwei Seiten. Die senkrechte Änderung ist der vertikale Unterschied, die waagerechte Änderung der horizontale Unterschied. Die Steigung ist m = vertikal/horizontal.

Mit Koordinaten musst du keine Kästchen zählen. Für die Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) ist der vertikale Unterschied y₂ − y₁ und der horizontale x₂ − x₁, also m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Für (−4, −4) und (4, 2): m = (2 − (−4))/(4 − (−4)) = 6/8 = 3/4. Subtrahiere oben und unten in derselben Reihenfolge. Fängst du stattdessen mit dem zweiten Punkt an, ändern beide Differenzen ihr Vorzeichen, und die Steigung bleibt gleich: (−4 − 2)/(−4 − 4) = −6/−8 = 3/4. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts an, eine negative fällt.

Waagerechte und senkrechte Geraden

Auf einer waagerechten Geraden hat jeder Punkt dieselbe y-Koordinate, also ist der vertikale Unterschied zwischen zwei Punkten 0 und die Steigung 0/horizontal = 0. Auf einer senkrechten Geraden hat jeder Punkt dieselbe x-Koordinate, also ist der horizontale Unterschied 0. Division durch null ist nicht definiert, deshalb sagt OpenStax, die Steigung einer senkrechten Geraden sei nicht definiert. Halte beides auseinander: Eine waagerechte Gerade wie y = 4 hat die Steigung null, und das ist eine Zahl, während eine senkrechte Gerade wie x = 3 gar keine Steigung hat. Zieh im Graphen-Labor einen Punkt genau über den anderen, und die Anzeige meldet genau das.

Steigung an Gebäuden und Straßen

Die Steigung einer Straße wird in Prozent angegeben. 6% Steigung bedeutet einen vertikalen Unterschied von 6 auf einen horizontalen von 100, gekürzt 3/50. Handwerker in den USA beschreiben ein Dach danach, wie viele Zoll es auf 12 Zoll waagerechte Strecke ansteigt: Eine Dachneigung von 4-12 hat die Steigung 4/12 = 1/3. OpenStax zitiert auch eine Regel für Rollstuhlrampen: höchstens 1 Zoll Anstieg auf je 12 Zoll waagerechte Strecke. Um 24 Zoll bis zu einer Tür zu überwinden, braucht eine Rampe deshalb mindestens 24 × 12 = 288 Zoll waagerechte Strecke, also 24 Fuß.

Der Betrag der Steigung, ohne Vorzeichen, sagt dir, wie steil die Gerade ist. Eine Steigung von 3 ist steiler als eine von 1/2, und eine Steigung von −3 ist genauso steil wie 3, nur fallend statt steigend. Eine Steigung von 1 steigt genauso schnell, wie sie nach rechts geht; auf einem Gitter mit quadratischen Kästchen ist das eine Gerade unter 45 Grad. Wird die Steigung immer größer, nähert sich die Gerade immer mehr der Senkrechten. Auch daran sieht man, warum eine senkrechte Gerade überhaupt keine Steigung hat.