Gradien

Jalan dengan kemiringan 6% naik 6 meter untuk setiap 100 meter mendatar: gradiennya 6/100 = 3/50.

Naik per mendatar

Ada garis yang menanjak curam, ada yang landai, ada yang turun, dan ada yang datar. Bilangan yang mengukur kemiringan ini adalah gradien, ditulis m. OpenStax menyebut tempat-tempat kamu menjumpainya di luar kelas: kemiringan atap, kemiringan jalan raya, dan jalur landai untuk kursi roda. Untuk mencari gradien sebuah garis, pilih dua titik pada garis itu, gambar segitiga siku-siku di antara keduanya, dan ukur dua sisinya. Perubahan tegak adalah naik dan perubahan mendatar adalah mendatar. Gradiennya m = naik/mendatar.

Dengan koordinat, kamu tidak perlu menghitung kotak. Untuk titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), naiknya y₂ − y₁ dan mendatarnya x₂ − x₁, jadi m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Untuk (−4, −4) dan (4, 2): m = (2 − (−4))/(4 − (−4)) = 6/8 = 3/4. Kurangkan dengan urutan yang sama di atas dan di bawah. Kalau kamu mulai dari titik kedua, kedua selisih berganti tanda dan gradiennya tetap sama: (−4 − 2)/(−4 − 4) = −6/−8 = 3/4. Gradien positif naik dari kiri ke kanan; gradien negatif turun.

Garis datar dan garis tegak

Pada garis mendatar, setiap titik punya koordinat y yang sama, jadi naik di antara dua titik mana pun adalah 0 dan gradiennya 0/mendatar = 0. Pada garis tegak, setiap titik punya koordinat x yang sama, jadi mendatarnya 0. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi, sehingga OpenStax menyatakan gradien garis tegak tidak terdefinisi. Bedakan keduanya: garis mendatar seperti y = 4 bergradien nol, yang merupakan bilangan, sedangkan garis tegak seperti x = 3 sama sekali tidak punya gradien. Di lab grafik, seret satu titik tepat di atas titik yang lain dan panel akan melaporkan hal itu.

Gradien pada bangunan dan jalan

Kemiringan jalan adalah gradiennya yang ditulis sebagai persen. Kemiringan 6% berarti naik 6 untuk mendatar 100, yang dapat disederhanakan menjadi 3/50. Tukang bangunan menggambarkan atap dari berapa inci atap itu naik untuk mendatar 12 inci: kemiringan atap 4-12 bergradien 4/12 = 1/3. OpenStax juga mengutip aturan untuk jalur landai kursi roda: naik paling banyak 1 inci untuk setiap 12 inci mendatar. Untuk naik 24 inci sampai ke pintu, jalur landai memerlukan mendatar paling sedikit 24 × 12 = 288 inci, yaitu 24 kaki.

Besar gradien, tanpa memedulikan tandanya, menunjukkan seberapa curam garisnya. Gradien 3 lebih curam daripada gradien 1/2, dan gradien −3 sama curamnya dengan 3, hanya saja turun, bukan naik. Gradien 1 naik secepat ia bergerak mendatar, yang pada kisi berkotak persegi berupa garis 45 derajat. Saat gradien membesar menuju bilangan yang sangat besar, garisnya makin mendekati tegak. Inilah salah satu cara melihat mengapa garis tegak sama sekali tidak punya gradien.