Vergelijkingen en oplossingen

In 2x + 1 = 7 maakt slechts één getal beide leden gelijk: 3, want 2 × 3 + 1 = 7.

Wat iets tot een vergelijking maakt

Een vergelijking is een uitspraak dat twee uitdrukkingen dezelfde waarde hebben. Het teken ertussen, =, is de bewering. Als je 2x + 1 = 7 schrijft, zeg je dat welk getal x ook voorstelt, verdubbelen en 1 erbij optellen 7 oplevert. Sommige getallen maken die bewering waar en andere maken haar onwaar. Een getal dat haar waar maakt, heet een oplossing van de vergelijking. Oplossen betekent al zulke getallen vinden. OpenStax vergelijkt het oplossen van een vergelijking met een puzzel: de oplossing is het antwoord, en de puzzel is pas af als je hebt gecontroleerd dat het antwoord klopt.

De letters in een vergelijking heten variabelen. Ze nemen de plaats in van een getal dat we nog niet kennen. Een getal waarmee een variabele wordt vermenigvuldigd, is de coëfficiënt: in 2x + 1 = 7 is de coëfficiënt van x gelijk aan 2. Een los getal, zoals de 1 en de 7, is een constante. Elke vergelijking in deze cursus is lineair. Dat betekent dat de variabele alleen tot de eerste macht voorkomt. Er is geen x², geen x onder een wortelteken en geen x in een noemer. Een lineaire vergelijking met één variabele heeft meestal precies één oplossing. In de volgende hoofdstukken leer je een kort lijstje bewerkingen waarmee je die steeds vindt.

Een oplossing controleren door substitutie

Je hoeft niet te weten hoe je een vergelijking oplost om een mogelijk antwoord te testen. Vervang de variabele door het getal, reken elk lid afzonderlijk uit en vergelijk. Voor 2x + 1 = 7 en x = 3 wordt het linkerlid 2 × 3 + 1 = 7 en is het rechterlid 7, dus de uitspraak is waar en 3 is een oplossing. Probeer in plaats daarvan x = 4: het linkerlid wordt 9, wat niet gelijk is aan 7, dus 4 is geen oplossing. Houd tijdens het rekenen beide leden gescheiden. Een lange keten zoals 2 × 3 + 1 = 7 = 7 verbergt fouten. Als je elk lid op een eigen regel schrijft, zie je precies waar ze overeenkomen of verschillen.

In het grafieklab hieronder zie je elk lid van een vergelijking als een lijn. De blauwe lijn is y = 2x + 1, het linkerlid, en de oranje lijn is y = 7, het rechterlid. Ze snijden elkaar waar beide leden dezelfde waarde hebben, en de x van dat snijpunt is de oplossing. Beweeg de schuifknoppen voor a, b, c en d en het snijpunt beweegt mee. Deze voorstelling komt terug in het hoofdstuk over variabelen aan beide kanten en opnieuw bij grafieken, waar twee snijdende lijnen het hele idee van een stelsel vergelijkingen vormen.