Уравнения и их корни

В уравнении 2x + 1 = 7 обе части равны только при одном числе: 3, ведь 2 × 3 + 1 = 7.

Что делает запись уравнением

Уравнение утверждает, что два выражения имеют одинаковое значение. Знак между ними, =, и есть это утверждение. Записывая 2x + 1 = 7, ты говоришь: какое бы число ни обозначал x, если его удвоить и прибавить 1, получится 7. Одни числа делают утверждение верным, другие ложным. Число, при котором оно верно, называют корнем (решением) уравнения, а решить уравнение значит найти все такие числа. OpenStax сравнивает решение уравнения с головоломкой: корень служит ответом, и головоломка не решена, пока ты не проверишь, что ответ подходит.

Буквы в уравнении называют переменными. Они стоят на месте числа, которое мы пока не знаем. Число, на которое умножена переменная, называют коэффициентом: в 2x + 1 = 7 коэффициент при x равен 2. Отдельное число, например 1 или 7, называют свободным членом (константой). В этом курсе все уравнения линейные, то есть переменная стоит только в первой степени. Здесь нет x², нет x под корнем и нет x в знаменателе. Линейное уравнение с одной переменной обычно имеет ровно один корень, а следующие уроки дают короткий набор шагов, который всегда его находит.

Проверка корня подстановкой

Чтобы проверить возможный ответ, не нужно уметь решать уравнение. Подставь число вместо переменной, вычисли каждую часть отдельно и сравни. Для 2x + 1 = 7 и x = 3 левая часть равна 2 × 3 + 1 = 7, правая равна 7, значит, равенство верно и 3 является корнем. Теперь попробуй x = 4: левая часть равна 9, а не 7, поэтому 4 не корень. Считай части раздельно. Длинная цепочка вроде 2 × 3 + 1 = 7 = 7 прячет ошибки, а если писать каждую часть на своей строке, сразу видно, где они совпадают и где расходятся.

Графическая лаборатория ниже рисует каждую часть уравнения как прямую. Синяя прямая y = 2x + 1 изображает левую часть, оранжевая прямая y = 7 изображает правую. Они пересекаются там, где обе части принимают одно значение, и x точки пересечения является корнем. Двигай ползунки a, b, c и d, и точка пересечения сдвинется вместе с ними. Эта картинка вернётся в уроке о переменной в обеих частях и в курсе о графиках, где пересечение двух прямых составляет всю суть системы уравнений.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Колёсико или щипок для масштаба.

Уравнение ax + b = cx + d при a = 2, b = 1, c = 0, d = 7. Красная отметка на оси x показывает корень, а панель проверяет его, вычисляя обе части.

КонтекстЗнак равенства моложе, чем обычно думают. Его ввёл валлийский математик Роберт Рекорд в 1557 году в книге The Whetstone of Witte («Точило остроумия»). Он писал, что взял пару параллельных отрезков одной длины, потому что никакие две вещи не могут быть более равны. До этого авторы выражали мысль словом, например aequales, или сокращением. Слово «алгебра» старше: оно происходит из названия книги аль-Хорезми о вычислениях путём восполнения и противопоставления, написанной в Багдаде в 9 веке. Его «аль-джабр», восполнение, означало перенос вычитаемого члена уравнения.

Корень является числом, а не уравнением. Записывай ответ как x = 3 и проверяй его в исходном уравнении, а не в переписанной строке: ошибка при переписывании согласуется сама с собой.

Уравнение	Утверждение, что два выражения равны, например 2x + 1 = 7
Корень (решение)	Значение переменной, при котором уравнение верно
Переменная	Буква, стоящая на месте неизвестного числа
Коэффициент	Число, на которое умножена переменная: 2 в 2x
Свободный член	Отдельное число без переменной
Линейное	Переменная стоит только в первой степени

Является ли x = 3 корнем уравнения 2x + 1 = 7?
- Да
- Нет
Является ли x = 5 корнем уравнения 3x − 4 = 10?
- Да
- Нет
Какое значение является корнем уравнения x + 8 = 15?
- 7
- 8
- 23
- 15
Чему равен коэффициент при y в уравнении 5y − 2 = 18?
Является ли y = −2 корнем уравнения 4y + 9 = 1?
- Да
- Нет
Какое из этих уравнений линейное?
- 3x + 2 = 11
- x² = 9
- 1/x = 4
- √x = 5
Является ли a = 1/2 корнем уравнения 6a − 1 = 2?
- Да
- Нет
Какое число является корнем уравнения 7 − x = 10?
- −3
- 3
- 17
- −17
Прямые y = 3x − 2 и y = 10 пересекаются в одной точке. Чему равна её координата x?
Является ли x = 6 корнем уравнения 2(x − 1) = x + 4?
- Да
- Нет
Кто первым записал знак равенства в 1557 году?
- Роберт Рекорд
- Рене Декарт
- Исаак Ньютон
- аль-Хорезми

Главное

Корень делает обе части уравнения равными.
Проверяй число подстановкой, вычисляя каждую часть отдельно.
В линейном уравнении переменная стоит только в первой степени.
Если изобразить каждую часть прямой, корень окажется там, где прямые пересекаются.

Источники курса (5)

OpenStax, Elementary Algebra 2e , chapter 2: 2.1 Solve Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality (openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/2-1-solve-equations-using-the-subtraction-and-addition-properties-of-equality)
2.2 Division and Multiplication Properties, 2.3 Variables and Constants on Both Sides, 2.4 Use a General Strategy to Solve Linear Equations (conditional equation, identity, contradiction: .../pages/2-4-use-a-general-strategy-to-solve-linear-equations)
2.5 Fractions or Decimals, 2.6 Solve a Formula for a Specific Variable
4.5 Fahrenheit and Celsius F = 9/5 C + 32 (.../pages/4-5-use-the-slope-intercept-form-of-an-equation-of-a-line)
MacTutor, University of St Andrews: "Earliest Uses of Symbols of Relation" (Recorde, The Whetstone of Witte, 1557: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/relation) and the al-Khwarizmi biography (Hisab al-jabr w'al-muqabala, al-jabr = completion: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Khwarizmi)

Проверено: 2026-10-17