Переменная в обеих частях

Если в 5x − 3 = 2x + 9 вычесть 2x из обеих частей, останется 3x − 3 = 9, а такое уравнение ты уже умеешь решать.

Собери слагаемые с переменной в одной части

Иногда переменная встречается по обе стороны от знака равенства, как в 5x − 3 = 2x + 9. Ни один из прежних шагов не оставляет x в одиночестве, потому что, что ни делай, x остаётся в каждой части. Выход в том, чтобы применить те же свойства равенства к слагаемому с переменной. Вычти 2x из обеих частей. Слева 5x − 2x = 3x, справа 2x − 2x = 0. Уравнение принимает вид 3x − 3 = 9, это уравнение в два шага. Прибавь 3, получится 3x = 12, раздели на 3, получится x = 4.

Проверяй в исходном уравнении, потому что обе части содержат x. Слева: 5 × 4 − 3 = 17. Справа: 2 × 4 + 9 = 17. Совпадают. Заметь, что общее значение 17 не является корнем; корень есть тот x, который даёт это значение. На графике левая часть y = 5x − 3 и правая часть y = 2x + 9 являются двумя прямыми с разным наклоном, и они встречаются в точке (4, 17). Координата x этой точки служит ответом, а y показывает значение, общее для обеих частей.

В какую часть переносить переменную?

Собирать переменную можно в любой части, ответ будет тот же. Удобная привычка: переносить меньшее слагаемое с переменной, тогда оставшийся коэффициент будет положительным. В 3y + 8 = 7y − 4 вычти 3y из обеих частей, получится 8 = 4y − 4. Прибавь 4, получится 12 = 4y, раздели на 4, получится y = 3. Если вместо этого вычесть 7y, получится −4y + 8 = −4, затем −4y = −12, и снова y = 3. Оба пути верны, просто в первом меньше минусов, за которыми нужно следить.

Свободные члены тоже могут стоять в обеих частях. Порядок, который срабатывает всегда: сначала собери слагаемые с переменной в одной части, затем свободные члены в другой, потом раздели на коэффициент. Вот житейский пример. Один тариф связи стоит 20 долларов в месяц плюс 2 доллара за гигабайт, другой 32 доллара в месяц плюс 1 доллар за гигабайт (обе цены придуманы). Они стоят одинаково, когда 2g + 20 = g + 32, то есть при g = 12 гигабайт. Меньше 12 выгоднее первый тариф, больше 12 второй.

Графическая лаборатория рисует пример поменьше: 3x − 2 = x + 4. Каждая часть изображена прямой, и прямые пересекаются над x = 3, где обе части равны 7. Сделай a и c равными, и прямые станут параллельными. Они никогда не пересекутся, значит, у уравнения нет корней. Этот случай и случай, когда прямые совпадают, разбираются в следующем уроке.