Variablen auf beiden Seiten

Subtrahiert man bei 5x − 3 = 2x + 9 auf beiden Seiten 2x, bleibt 3x − 3 = 9, eine Gleichung, die du schon lösen kannst.

Die Variablenterme auf einer Seite sammeln

Manchmal taucht die Variable auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens auf, wie bei 5x − 3 = 2x + 9. Keiner der bisherigen Schritte stellt x direkt frei, denn was du auch tust, auf jeder Seite steht noch ein x. Die Lösung: Wende dieselben Regeln der Gleichheit auf einen Term an, der eine Variable enthält. Subtrahiere 2x auf beiden Seiten. Links ist 5x − 2x = 3x, rechts 2x − 2x = 0. Die Gleichung wird zu 3x − 3 = 9, einer Gleichung mit zwei Schritten. Addiere 3 und du erhältst 3x = 12, dividiere durch 3 und du erhältst x = 4.

Prüfe in der ursprünglichen Gleichung, weil beide Seiten x enthalten. Links: 5 × 4 − 3 = 17. Rechts: 2 × 4 + 9 = 17. Sie stimmen überein. Beachte, dass der gemeinsame Wert 17 nicht die Lösung ist; die Lösung ist das x, das ihn ergibt. In einem Graphen sind die linke Seite y = 5x − 3 und die rechte Seite y = 2x + 9 zwei Geraden mit unterschiedlicher Steigung, und sie treffen sich im Punkt (4, 17). Das x dieses Punkts ist die Antwort, das y ist der Wert, den beide Seiten gemeinsam haben.

Auf welche Seite soll die Variable?

Du kannst die Variable auf jeder Seite sammeln, die Antwort ist dieselbe. Eine praktische Gewohnheit ist es, den kleineren Variablenterm zu verschieben, damit der übrige Koeffizient positiv ist. Bei 3y + 8 = 7y − 4 subtrahierst du 3y auf beiden Seiten und erhältst 8 = 4y − 4. Addiere 4 und du erhältst 12 = 4y, dividiere durch 4 und du erhältst y = 3. Subtrahierst du stattdessen 7y, erhältst du −4y + 8 = −4, dann −4y = −12, dann wieder y = 3. Beide Wege sind richtig; beim ersten musst du nur auf weniger Minuszeichen achten.

Auch Konstanten können auf beiden Seiten stehen. Die Reihenfolge, die immer funktioniert: zuerst die Variablenterme auf einer Seite sammeln, dann die Konstanten auf der anderen Seite, dann durch den Koeffizienten dividieren. Hier eine Alltagsversion. Ein Handytarif kostet 20 Dollar im Monat plus 2 Dollar pro Gigabyte, ein anderer 32 Dollar im Monat plus 1 Dollar pro Gigabyte (beides ausgedachte Preise). Sie kosten gleich viel, wenn 2g + 20 = g + 32, und das ist bei g = 12 Gigabyte der Fall. Unter 12 ist der erste Tarif günstiger, über 12 der zweite.

Das Graphen-Labor zeichnet ein kleineres Beispiel, 3x − 2 = x + 4. Jede Seite ist eine Gerade, und die Geraden schneiden sich über x = 3, wo beide Seiten 7 ergeben. Mach a und c gleich, dann werden die beiden Geraden parallel. Sie schneiden sich nie, die Gleichung hat also keine Lösung. Dieser Fall und der Fall, dass die Geraden aufeinanderliegen, sind Thema der nächsten Einheit.