Lösen durch Addieren oder Subtrahieren

Nimm von beiden Schalen einer ausgeglichenen Waage 5 weg, und sie bleibt im Gleichgewicht. Diese eine Regel macht aus x + 5 = 12 die Lösung x = 7.

Eine Gleichung als Waage

Stell dir eine Balkenwaage vor: links eine geschlossene Schachtel und fünf Einheitsgewichte, rechts zwölf Einheitsgewichte. Die Schalen sind im Gleichgewicht, also wiegt der Inhalt gleich viel. Das ist die Gleichung x + 5 = 12, wobei x das Gewicht in der Schachtel ist. Öffnen kannst du die Schachtel nicht, aber du kannst Gewichte wegnehmen. Nimmst du fünf Gewichte von der linken Schale, musst du auch fünf von der rechten nehmen, sonst kippt die Waage. Danach liegt links nur noch die Schachtel und rechts sieben Gewichte, und die Waage ist immer noch im Gleichgewicht. Also ist x = 7.

Das Bild der Waage ist die Subtraktionsregel der Gleichheit. In Worten: Wenn zwei Größen gleich sind und du von beiden dieselbe Zahl subtrahierst, sind die Ergebnisse immer noch gleich. In Zeichen: Wenn a = b, dann a − c = b − c. Die Additionsregel der Gleichheit funktioniert genauso in die andere Richtung: Wenn a = b, dann a + c = b + c. OpenStax löst mit diesen beiden Regeln jede einschrittige Gleichung der Form x + a = b oder x − a = b. Das Ziel ist immer dasselbe: die Variable allein auf eine Seite zu bringen.

Rückgängig machen, was mit der Variablen gemacht wurde

Um zu entscheiden, welche Regel du anwendest, lies ab, was mit der Variablen gemacht wurde, und mach das Gegenteil. Bei y + 37 = −13 wurde 37 zu y addiert, also subtrahiere 37 auf beiden Seiten: y = −13 − 37 = −50. Bei a − 28 = 64 wurde 28 von a subtrahiert, also addiere 28 auf beiden Seiten: a = 64 + 28 = 92. Addition und Subtraktion machen sich gegenseitig rückgängig, deshalb heißen sie Umkehroperationen. Negative Zahlen folgen derselben Regel. Bei x + (−4) = 9 wird die −4 durch Addieren von 4 rückgängig gemacht, das ergibt x = 13.

Die Variable muss nicht links stehen. Bei 15 = n + 6 subtrahierst du auf beiden Seiten 6 und erhältst 9 = n, das ist dieselbe Aussage wie n = 9. Gleichheit gilt in beide Richtungen, du darfst also am Ende die Seiten tauschen, wenn du die Variable lieber links hast. Manchmal muss eine Seite zuerst aufgeräumt werden. Bei x − 3 + 5 = 10 fasst du −3 + 5 zu +2 zusammen, dann lautet die Gleichung x + 2 = 10 und x = 8. Vereinfache jede Seite so weit wie möglich und schließ dann mit einer Regel ab.

Prüfe jede Antwort in der ursprünglichen Gleichung. Setze bei y + 37 = −13 den Wert −50 ein: −50 + 37 = −13, das stimmt. Die Probe dauert ein paar Sekunden und fängt den häufigsten Fehler ab, nämlich zu addieren, wo man subtrahieren müsste. Im Graphen-Labor unten ist die linke Seite x + 5 die blaue Gerade und die rechte Seite 12 die orange Gerade. Sie treffen sich über x = 7. Ändere d auf 20, dann wandert die Lösung zu 15.