足し算・引き算で解く

つり合っている天びんの両方の皿から5を取り去っても、つり合ったままです。このルール一つで、x + 5 = 12 が x = 7 になります。

天びんとしての方程式

左の皿にふたの閉じた箱と1の重り五つ、右の皿に1の重り十二個がのった天びんを思い浮かべてください。皿はつり合っているので、のっているものの重さは同じです。これが方程式 x + 5 = 12 で、x は箱の重さです。箱は開けられませんが、重りを取り除くことはできます。左の皿から重りを五つ取るなら、右の皿からも五つ取らなければ天びんは傾きます。そうすると左には箱だけ、右には重りが七つ残り、天びんはつり合ったままです。だから x = 7 です。

この天びんの図は、等式の性質（引き算）を表しています。ことばで言うと、二つの量が等しいとき、両方から同じ数を引いても結果は等しいままです。記号で書くと、a = b ならば a − c = b − c です。等式の性質（足し算）は逆向きに同じように働きます。a = b ならば a + c = b + c です。OpenStax はこの二つの性質を使って、x + a = b や x − a = b の形の一段階の方程式をすべて解きます。目標はいつも同じで、変数を一方の辺に単独で残すことです。

変数にされたことを元に戻す

どの性質を使うかは、変数に何がされているかを読み取り、その逆をすれば決まります。y + 37 = −13 では y に 37 が足されているので、両辺から 37 を引きます。y = −13 − 37 = −50 です。a − 28 = 64 では a から 28 が引かれているので、両辺に 28 を足します。a = 64 + 28 = 92 です。足し算と引き算は互いに元に戻し合うので、逆演算と呼ばれます。負の数も同じルールに従います。x + (−4) = 9 では、−4 は 4 を足すことで打ち消され、x = 13 になります。

変数は左辺になくてもかまいません。15 = n + 6 では両辺から 6 を引いて 9 = n となり、これは n = 9 と同じ内容です。等式はどちら向きにも成り立つので、変数を左に置きたければ最後に両辺を入れかえてもかまいません。先に辺を整理する必要があることもあります。x − 3 + 5 = 10 では −3 + 5 をまとめて +2 にすると、方程式は x + 2 = 10 となり、x = 8 です。それぞれの辺をできるだけ簡単にしてから、性質を一つ使って仕上げましょう。

答えはどれも、もとの方程式で確かめましょう。y + 37 = −13 に −50 を入れると −50 + 37 = −13 となり、一致します。確かめは数秒で終わり、いちばん多い間違い、引くべきところで足してしまうミスを見つけてくれます。下のグラフラボでは、左辺の x + 5 が青い直線、右辺の 12 がオレンジの直線です。二つは x = 7 の上で交わります。d を 20 に変えると、解が 15 に動くのがわかります。