一般的な解き方と、解がない方程式・すべての数が解の方程式

2y + 6 = 2(y + 3) を解くと y が消え、6 = 6 が残ります。どんな数も解です。

どんな一次方程式にも使える五つのステップ

これで、一つの変数の一次方程式に必要な道具はすべてそろいました。OpenStax はそれを一般的な解き方にまとめています。ステップ1：分配法則でかっこをはずし、同類項をまとめて、各辺をできるだけ簡単にします。ステップ2：変数の項をすべて片方の辺に集めます。ステップ3：定数項をすべてもう片方の辺に集めます。ステップ4：わり算かかけ算で、変数の係数を 1 にします。ステップ5：もとの方程式で解を確かめます。すべての方程式にすべてのステップが必要なわけではありませんが、順に進めれば長い問題でも見失いません。

教科書の例：−6(x + 3) = 24。かっこの中の両方の項に −6 を分配すると、−6x − 18 = 24 になります。変数の項は一つだけなので、ステップ2は済んでいます。両辺に 18 を足して −6x = 42。−6 でわって x = −7 です。確かめ：−6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24。ここで一番多い間違いは、−6 を x には分配しても 3 には分配しないこと、またはその符号を落とすことです。必要なら −6 · x + (−6) · 3 とかけ算を書き出しましょう。

三種類の方程式

たいていの方程式は、一つの値では成り立ち、ほかのすべての値では成り立ちません。たとえば 7x + 8 = −13 は x = −3 のときだけ成り立ちます。OpenStax はこれを条件方程式と呼びます。では 2y + 6 = 2(y + 3) はどうでしょう。右辺を分配すると 2y + 6 = 2y + 6。両辺から 2y を引くと 6 = 6 が残ります。変数は消え、残った式は正しい式です。つまり y にどんな値を入れても成り立ち、この方程式は恒等式と呼ばれます。解はすべての実数です。

三つ目の種類はその逆です。5z = 5z − 1 を、両辺から 5z を引いて解くと 0 = −1 になります。また変数が消えましたが、今度は残った式が誤りで、どんな z の値でも正しくなりません。このような方程式は矛盾方程式で、解はありません。解いている途中で変数が消えたら、残ったものを見ましょう。正しい式ならすべての数、誤りの式ならどの数も解ではありません。どちらの場合も x = 0 と書いてはいけません。

グラフラボを見ると理由がわかります。ax + b = cx + d では、両辺は傾き a と c の直線です。a と c が違えば、直線は一回だけ交わります。これが条件方程式です。a と c が等しく b と d も等しければ、二本は同じ直線で、重なって描かれます。これが恒等式です。a と c が等しく b と d が違えば、直線は平行で決して交わりません。これが矛盾方程式です。a = 2、b = 6、c = 2、d = 6 にして、オレンジの直線が青い直線を隠すのを見てみましょう。