Een algemene aanpak en vergelijkingen zonder of met elke oplossing

Los 2y + 6 = 2(y + 3) op en de y verdwijnt, waarna 6 = 6 overblijft. Elk getal is een oplossing.

Vijf stappen die voor elke lineaire vergelijking werken

Je beschikt nu over alle hulpmiddelen voor lineaire vergelijkingen met één variabele. OpenStax brengt ze samen in een algemene aanpak. Stap 1: vereenvoudig elk lid zo veel mogelijk, door met de distributieve eigenschap haakjes weg te werken en gelijksoortige termen samen te nemen. Stap 2: verzamel alle variabeletermen aan één kant. Stap 3: verzamel alle constante termen aan de andere kant. Stap 4: maak de coëfficiënt van de variabele 1, door delen of vermenigvuldigen. Stap 5: controleer de oplossing in de oorspronkelijke vergelijking. Niet elke vergelijking heeft elke stap nodig, maar door ze op volgorde langs te gaan houd je lange opgaven overzichtelijk.

Een voorbeeld uit het leerboek: −6(x + 3) = 24. Vermenigvuldig beide termen tussen de haakjes met −6, wat −6x − 18 = 24 geeft. Er is maar één variabeleterm, dus stap 2 is al klaar. Tel 18 bij beide leden op om −6x = 42 te krijgen. Deel door −6 om x = −7 te krijgen. Controleer: −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24. De meest voorkomende fout is hier dat je alleen de x met −6 vermenigvuldigt en niet de 3, of dat je het teken vergeet. Schrijf de vermenigvuldiging uit, −6 · x + (−6) · 3, als dat helpt.

Drie soorten vergelijkingen

De meeste vergelijkingen zijn waar voor één waarde en onwaar voor alle andere, zoals 7x + 8 = −13, die alleen waar is als x = −3. OpenStax noemt dit voorwaardelijke vergelijkingen. Probeer nu 2y + 6 = 2(y + 3). Werk rechts de haakjes weg: 2y + 6 = 2y + 6. Trek 2y van beide leden af en er blijft 6 = 6 over. De variabele is verdwenen en de overblijvende uitspraak is waar. Dat betekent dat elke waarde van y werkt. De vergelijking heet een identiteit. De oplossing bestaat uit alle reële getallen.

Bij de derde soort gebeurt het tegenovergestelde. Los 5z = 5z − 1 op door van beide leden 5z af te trekken en je krijgt 0 = −1. De variabele is opnieuw verdwenen, maar nu is de overblijvende uitspraak onwaar en geen waarde van z kan haar waar maken. Zo'n vergelijking is een tegenspraak en heeft geen oplossing. Als de variabele tijdens het oplossen verdwijnt, bekijk dan wat overblijft: een ware uitspraak betekent elk getal, een onware betekent geen enkel getal. Schrijf in geen van beide gevallen x = 0.

In het grafieklab zie je waarom. Voor ax + b = cx + d zijn beide leden lijnen met richtingscoëfficiënten a en c. Als a en c verschillen, snijden de lijnen elkaar eenmaal: een voorwaardelijke vergelijking. Als a gelijk is aan c en b gelijk is aan d, zijn de lijnen dezelfde lijn, op elkaar getekend: een identiteit. Als a gelijk is aan c maar b verschilt van d, zijn de lijnen evenwijdig en ontmoeten ze elkaar nooit: een tegenspraak. Stel a = 2, b = 6, c = 2, d = 6 in en bekijk hoe de oranje lijn de blauwe verbergt.