Uma estratégia geral, e equações sem solução ou com todas as soluções

Resolva 2y + 6 = 2(y + 3) e o y desaparece, deixando 6 = 6. Todo número é solução.

Cinco passos que funcionam em qualquer equação do primeiro grau

Agora você tem todas as ferramentas necessárias para equações do primeiro grau com uma incógnita. O OpenStax as reúne numa estratégia geral. Passo 1: simplifique cada membro o máximo possível, usando a propriedade distributiva para eliminar parênteses e juntando os termos semelhantes. Passo 2: junte todos os termos com variável num membro. Passo 3: junte todos os termos constantes no outro membro. Passo 4: torne 1 o coeficiente da variável, dividindo ou multiplicando. Passo 5: confira a solução na equação original. Nem toda equação precisa de todos os passos, mas segui-los em ordem mantém os problemas longos sob controle.

Um exemplo do livro: −6(x + 3) = 24. Distribua o −6 pelos dois termos dentro dos parênteses, o que dá −6x − 18 = 24. Só há um termo com variável, então o passo 2 já está feito. Some 18 aos dois membros para obter −6x = 42. Divida por −6 para obter x = −7. Conferência: −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24. O erro mais comum aqui é distribuir o −6 para o x, mas não para o 3, ou esquecer o sinal. Escreva a multiplicação por extenso, −6 · x + (−6) · 3, se ajudar.

Três tipos de equação

A maioria das equações é verdadeira para um valor e falsa para todos os outros, como 7x + 8 = −13, que só é verdadeira quando x = −3. O OpenStax chama essas de equações condicionais. Agora experimente 2y + 6 = 2(y + 3). Distribua à direita: 2y + 6 = 2y + 6. Subtraia 2y dos dois membros e sobra 6 = 6. A variável sumiu e a afirmação que restou é verdadeira. Isso quer dizer que todo valor de y serve, e a equação se chama identidade. Sua solução é o conjunto de todos os números reais.

O terceiro tipo vai no sentido oposto. Resolva 5z = 5z − 1 subtraindo 5z dos dois membros e você obtém 0 = −1. A variável sumiu de novo, mas desta vez a afirmação que sobrou é falsa, e nenhum valor de z pode torná-la verdadeira. Uma equação assim é uma contradição e não tem solução. Então, quando a variável desaparece durante a resolução, olhe o que sobrou: uma afirmação verdadeira quer dizer todos os números; uma falsa, nenhum número. Não escreva x = 0 em nenhum dos dois casos.

O laboratório de gráficos mostra por quê. Para ax + b = cx + d, os dois membros são retas com inclinações a e c. Se a e c são diferentes, as retas se cruzam uma vez: uma equação condicional. Se a é igual a c e b é igual a d, as retas são a mesma reta, desenhada uma sobre a outra: uma identidade. Se a é igual a c, mas b é diferente de d, as retas são paralelas e nunca se encontram: uma contradição. Ponha a = 2, b = 6, c = 2, d = 6 e veja a reta laranja esconder a azul.