Resolvendo com multiplicação ou divisão

Se 4 cadernos iguais custam 12 dólares, um custa 12 ÷ 4 = 3. Essa é a equação 4n = 12, resolvida dividindo os dois membros por 4.

Quando a variável está multiplicada

Na unidade anterior, somavam ou tiravam um número da variável. Aqui a variável está multiplicada por um número. Em 4n = 12, n foi multiplicado por 4. Subtrair 4 não ajudaria, porque não há nenhum 4 sozinho para tirar. O contrário de multiplicar por 4 é dividir por 4, então divida os dois membros por 4: 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4, o que deixa n = 3. Essa é a propriedade da igualdade na divisão: se a = b e c não é zero, então a ÷ c = b ÷ c. Na balança, isso quer dizer dividir os dois pratos em quatro grupos iguais e ficar com um grupo de cada lado.

Por que c não pode ser zero? A divisão por zero não tem significado, então a propriedade só funciona com um divisor diferente de zero. O mesmo cuidado vale para a próxima propriedade. A propriedade da igualdade na multiplicação diz que, se a = b, então a × c = b × c. Ela desfaz a divisão. Em x ÷ 5 = 6, que também se escreve x/5 = 6, multiplique os dois membros por 5 para obter x = 30. Confira: 30 ÷ 5 = 6. Multiplicar os dois membros por zero tornaria qualquer equação verdadeira, 0 = 0, e não diria nada, então aqui também nunca usamos o zero.

Coeficientes negativos e fracionários

Os sinais pedem cuidado. Em −7y = 42, o coeficiente é −7, então divida os dois membros por −7: y = 42 ÷ (−7) = −6. Uma conferência rápida: −7 × (−6) = 42. Um caso especial é −x = 5. Ali o coeficiente é −1, mesmo sem nenhum 1 escrito. Divida os dois membros por −1, ou multiplique por −1, e você obtém x = −5. Muitos erros vêm de dividir por 7 em vez de −7, o que troca o sinal da resposta. Ler o coeficiente com o sinal antes de dividir evita isso.

Quando o coeficiente é uma fração, multiplicar pelo seu inverso é mais rápido que dividir. Em (2/3)x = 18, o inverso de 2/3 é 3/2, e 3/2 × 2/3 = 1. Multiplique os dois membros por 3/2: x = 18 × 3/2 = 27. Confira: dois terços de 27 é 18. Você também pode pensar em dois passos, multiplicando por 3 para obter 2x = 54 e depois dividindo por 2, e chega ao mesmo 27. O inverso faz os dois passos de uma vez.

No laboratório de gráficos abaixo, a reta azul é y = 3x, o primeiro membro de 3x = 12, e a reta laranja é y = 12. Elas se encontram acima de x = 4. Torne o coeficiente negativo e a reta azul inclina para o outro lado, então o ponto de cruzamento vai para a esquerda do zero. Ponha a em 0 e a reta azul fica horizontal; a menos que d também seja 0, ela nunca encontra a reta laranja, o que combina com a regra de que não se pode dividir por zero.