Résoudre en multipliant ou en divisant

Si 4 cahiers identiques coûtent 12 dollars, un cahier coûte 12 ÷ 4 = 3. C'est l'équation 4n = 12, résolue en divisant les deux membres par 4.

Quand l'inconnue est multipliée

Dans le chapitre précédent, on avait ajouté ou retiré un nombre à l'inconnue. Ici, l'inconnue est multipliée par un nombre. Dans 4n = 12, n a été multiplié par 4. Soustraire 4 ne servirait à rien, car il n'y a pas de 4 tout seul à retirer. L'inverse de multiplier par 4, c'est diviser par 4 : divise donc les deux membres par 4, 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4, ce qui laisse n = 3. C'est la propriété de la division de l'égalité : si a = b et si c n'est pas nul, alors a ÷ c = b ÷ c. Sur la balance, cela revient à partager les deux plateaux en quatre groupes égaux et à garder un groupe de chaque côté.

Pourquoi c ne doit-il pas être nul ? La division par zéro n'a pas de sens, donc la propriété ne fonctionne qu'avec un diviseur non nul. La même précaution vaut pour la propriété suivante. La propriété de la multiplication de l'égalité dit que si a = b, alors a × c = b × c. Elle défait la division. Dans x ÷ 5 = 6, qui s'écrit aussi x/5 = 6, multiplie les deux membres par 5 pour obtenir x = 30. Vérifie : 30 ÷ 5 = 6. Multiplier les deux membres par zéro rendrait n'importe quelle équation vraie, 0 = 0, sans rien t'apprendre : on n'utilise donc jamais zéro ici non plus.

Coefficients négatifs et fractionnaires

Les signes demandent de l'attention. Dans −7y = 42, le coefficient est −7 : divise donc les deux membres par −7, y = 42 ÷ (−7) = −6. Vérification rapide : −7 × (−6) = 42. Un cas particulier est −x = 5. Le coefficient y est −1, même si aucun 1 n'est écrit. Divise les deux membres par −1, ou multiplie-les par −1, et tu obtiens x = −5. Beaucoup d'erreurs viennent d'une division par 7 au lieu de −7, ce qui change le signe de la réponse. Lire le coefficient avec son signe avant de diviser évite cela.

Quand le coefficient est une fraction, multiplier par son inverse est plus rapide que diviser. Dans (2/3)x = 18, l'inverse de 2/3 est 3/2, et 3/2 × 2/3 = 1. Multiplie les deux membres par 3/2 : x = 18 × 3/2 = 27. Vérification : les deux tiers de 27 font 18. Tu peux aussi procéder en deux étapes, multiplier par 3 pour obtenir 2x = 54 puis diviser par 2, et tu arrives au même 27. L'inverse fait les deux gestes à la fois.

Dans le laboratoire de graphiques ci-dessous, la droite bleue est y = 3x, le membre de gauche de 3x = 12, et la droite orange est y = 12. Elles se rencontrent au-dessus de x = 4. Donne au coefficient une valeur négative et la droite bleue s'incline dans l'autre sens : le point d'intersection passe à gauche de zéro. Mets a à 0 et la droite bleue devient horizontale. Sauf si d vaut aussi 0, elle ne rencontre jamais la droite orange, ce qui correspond à la règle selon laquelle on ne peut pas diviser par zéro.