Résoudre en ajoutant ou en soustrayant

Retire 5 des deux plateaux d'une balance en équilibre et elle reste en équilibre. Cette seule règle transforme x + 5 = 12 en x = 7.

Une équation comme une balance

Imagine une balance à plateaux avec une boîte fermée et cinq poids unités à gauche, et douze poids unités à droite. Les plateaux sont en équilibre, donc leurs contenus pèsent autant. C'est l'équation x + 5 = 12, où x est le poids de la boîte. Tu ne peux pas ouvrir la boîte, mais tu peux retirer des poids. Si tu retires cinq poids du plateau de gauche, tu dois aussi en retirer cinq du plateau de droite, sinon la balance penche. Ensuite, la boîte est seule à gauche avec sept poids à droite, et la balance est toujours en équilibre. Donc x = 7.

L'image de la balance correspond à la propriété de la soustraction de l'égalité. En mots : si deux quantités sont égales et que l'on soustrait le même nombre aux deux, les résultats restent égaux. En symboles : si a = b, alors a − c = b − c. La propriété de l'addition de l'égalité fonctionne de la même façon dans l'autre sens : si a = b, alors a + c = b + c. OpenStax utilise ces deux propriétés pour résoudre toutes les équations en une étape de la forme x + a = b ou x − a = b. Le but est toujours le même : isoler l'inconnue d'un côté.

Défaire ce qui a été fait à l'inconnue

Pour choisir la propriété, lis ce qui a été fait à l'inconnue et fais l'inverse. Dans y + 37 = −13, on a ajouté 37 à y : soustrais donc 37 aux deux membres, y = −13 − 37 = −50. Dans a − 28 = 64, on a soustrait 28 à a : ajoute donc 28 aux deux membres, a = 64 + 28 = 92. L'addition et la soustraction se défont l'une l'autre, c'est pourquoi on les appelle des opérations inverses. Les nombres négatifs suivent la même règle. Dans x + (−4) = 9, le −4 se défait en ajoutant 4, ce qui donne x = 13.

L'inconnue n'a pas besoin d'être à gauche. Dans 15 = n + 6, soustrais 6 aux deux membres pour obtenir 9 = n, ce qui revient à n = 9. L'égalité fonctionne dans les deux sens, tu peux donc échanger les membres à la fin si tu préfères l'inconnue à gauche. Parfois, un membre doit d'abord être simplifié. Dans x − 3 + 5 = 10, regroupe −3 + 5 en +2 : l'équation devient x + 2 = 10 et x = 8. Simplifie chaque membre autant que possible, puis termine avec une seule propriété.

Vérifie chaque réponse dans l'équation de départ. Pour y + 37 = −13, remplace par −50 : −50 + 37 = −13, ça correspond. La vérification prend quelques secondes et repère l'erreur la plus fréquente : ajouter au lieu de soustraire. Dans le laboratoire de graphiques ci-dessous, le membre de gauche x + 5 est la droite bleue et le membre de droite 12 est la droite orange. Elles se rencontrent au-dessus de x = 7. Passe d à 20 et regarde la solution passer à 15.