Risolvere addizionando o sottraendo

Togli 5 da entrambi i piatti di una bilancia in equilibrio e l'equilibrio resta. Questa sola regola trasforma x + 5 = 12 in x = 7.

Un'equazione come una bilancia

Immagina una bilancia a due piatti: a sinistra una scatola chiusa e cinque pesi unitari, a destra dodici pesi unitari. I piatti sono in equilibrio, quindi i contenuti pesano uguale. È l'equazione x + 5 = 12, dove x è il peso della scatola. Non puoi aprire la scatola, ma puoi togliere pesi. Se togli cinque pesi dal piatto sinistro devi toglierne cinque anche dal destro, altrimenti la bilancia pende. Dopo, la scatola resta da sola a sinistra con sette pesi a destra, e la bilancia è ancora in equilibrio. Quindi x = 7.

L'immagine della bilancia è il principio di equivalenza della sottrazione. A parole: se due quantità sono uguali e sottrai lo stesso numero a entrambe, i risultati restano uguali. In simboli, se a = b allora a − c = b − c. Il principio dell'addizione funziona allo stesso modo nell'altra direzione: se a = b allora a + c = b + c. OpenStax usa questi due principi per risolvere ogni equazione a un passo della forma x + a = b oppure x − a = b. L'obiettivo è sempre lo stesso: lasciare la variabile da sola in un membro.

Disfare ciò che è stato fatto alla variabile

Per scegliere il principio da usare, leggi che cosa è stato fatto alla variabile e fai il contrario. In y + 37 = −13 a y è stato aggiunto 37, quindi sottrai 37 da entrambi i membri: y = −13 − 37 = −50. In a − 28 = 64 ad a è stato tolto 28, quindi aggiungi 28 a entrambi i membri: a = 64 + 28 = 92. Addizione e sottrazione si annullano a vicenda, per questo si chiamano operazioni inverse. I numeri negativi seguono la stessa regola. In x + (−4) = 9 il −4 si annulla aggiungendo 4, e si ottiene x = 13.

La variabile non deve per forza stare a sinistra. In 15 = n + 6 sottrai 6 da entrambi i membri e ottieni 9 = n, che è la stessa affermazione di n = 9. L'uguaglianza vale nei due sensi, quindi alla fine puoi scambiare i membri se preferisci la variabile a sinistra. A volte un membro va prima riordinato. In x − 3 + 5 = 10 somma −3 + 5 e ottieni +2: l'equazione diventa x + 2 = 10 e x = 8. Semplifica ogni membro il più possibile, poi usa un principio per finire.

Verifica ogni risposta nell'equazione di partenza. Per y + 37 = −13 inserisci −50: −50 + 37 = −13, e torna. La verifica richiede pochi secondi e scopre l'errore più comune, addizionare quando bisognava sottrarre. Nel laboratorio grafico qui sotto il primo membro x + 5 è la retta blu e il secondo membro 12 è la retta arancione. Si incontrano sopra x = 7. Porta d a 20 e guarda la soluzione spostarsi a 15.