Resolver sumando o restando

Quita 5 de los dos platillos de una balanza equilibrada y sigue equilibrada. Esa sola regla convierte x + 5 = 12 en x = 7.

Una ecuación como una balanza

Imagina una balanza de platillos con una caja cerrada y cinco pesas unidad a la izquierda, y doce pesas unidad a la derecha. Los platillos están nivelados, así que lo que hay en cada uno pesa lo mismo. Esa es la ecuación x + 5 = 12, donde x es el peso de la caja. No puedes abrir la caja, pero sí quitar pesas. Si quitas cinco pesas del platillo izquierdo, también tienes que quitar cinco del derecho, o la balanza se inclina. Después, la caja queda sola a la izquierda con siete pesas a la derecha, y la balanza sigue equilibrada. Así que x = 7.

La imagen de la balanza es la propiedad de igualdad de la resta. En palabras: si dos cantidades son iguales y restas el mismo número a las dos, los resultados siguen siendo iguales. En símbolos, si a = b, entonces a − c = b − c. La propiedad de igualdad de la suma funciona igual en el otro sentido: si a = b, entonces a + c = b + c. OpenStax usa estas dos propiedades para resolver todas las ecuaciones de un paso de la forma x + a = b o x − a = b. El objetivo es siempre el mismo: dejar la variable sola en un lado.

Deshaz lo que se le hizo a la variable

Para decidir qué propiedad usar, lee qué se le ha hecho a la variable y haz lo contrario. En y + 37 = −13, 37 se ha sumado a y, así que resta 37 a los dos lados: y = −13 − 37 = −50. En a − 28 = 64, 28 se ha restado de a, así que suma 28 a los dos lados: a = 64 + 28 = 92. La suma y la resta se deshacen mutuamente, y por eso se llaman operaciones inversas. Los números negativos siguen la misma regla. En x + (−4) = 9, el −4 se deshace sumando 4, lo que da x = 13.

La variable no tiene por qué estar a la izquierda. En 15 = n + 6, resta 6 a los dos lados y obtienes 9 = n, que es la misma afirmación que n = 9. La igualdad funciona en los dos sentidos, así que puedes intercambiar los lados al final si prefieres la variable a la izquierda. A veces hay que ordenar un lado primero. En x − 3 + 5 = 10, junta −3 + 5 en +2, de modo que la ecuación queda x + 2 = 10 y x = 8. Simplifica cada lado todo lo que puedas y luego usa una propiedad para terminar.

Comprueba cada respuesta en la ecuación original. Para y + 37 = −13, sustituye −50: −50 + 37 = −13, que coincide. La comprobación lleva unos segundos y detecta el error más común: sumar cuando había que restar. En el laboratorio de gráficas de abajo, el lado izquierdo x + 5 es la recta azul y el lado derecho 12 es la recta naranja. Se cortan encima de x = 7. Cambia d a 20 y verás que la solución pasa a 15.