Variable en ambos lados

En 5x − 3 = 2x + 9, restar 2x a los dos lados deja 3x − 3 = 9, una ecuación que ya sabes resolver.

Reúne los términos con variable en un lado

A veces la variable aparece a los dos lados del signo igual, como en 5x − 3 = 2x + 9. Ninguno de los pasos anteriores despeja x directamente, porque hagas lo que hagas, sigue habiendo una x en cada lado. La solución es aplicar las mismas propiedades de igualdad a un término que contiene la variable. Resta 2x a los dos lados. A la izquierda, 5x − 2x = 3x; a la derecha, 2x − 2x = 0. La ecuación queda 3x − 3 = 9, una ecuación de dos pasos. Suma 3 para obtener 3x = 12 y divide entre 3 para obtener x = 4.

Comprueba en la ecuación original, porque los dos lados contienen x. Izquierda: 5 × 4 − 3 = 17. Derecha: 2 × 4 + 9 = 17. Coinciden. Fíjate en que el valor común, 17, no es la solución; la solución es la x que lo produce. En una gráfica, el lado izquierdo y = 5x − 3 y el derecho y = 2x + 9 son dos rectas con pendientes distintas, y se cortan en el punto (4, 17). La x de ese punto es la respuesta, y la y es el valor que comparten los dos lados.

¿A qué lado debe ir la variable?

Puedes reunir la variable en cualquiera de los dos lados, y la respuesta es la misma. Una costumbre práctica es mover el término con la variable más pequeño, para que el coeficiente que queda sea positivo. En 3y + 8 = 7y − 4, resta 3y a los dos lados para obtener 8 = 4y − 4. Suma 4 para obtener 12 = 4y y divide entre 4 para obtener y = 3. Si en cambio restas 7y, obtienes −4y + 8 = −4, luego −4y = −12 y luego otra vez y = 3. Los dos caminos son correctos; el primero solo tiene menos signos negativos que vigilar.

También puede haber constantes en los dos lados. El orden que funciona siempre es: primero reúne los términos con variable en un lado, luego reúne las constantes en el otro y después divide entre el coeficiente. Aquí va una versión cotidiana. Un plan de teléfono cuesta 20 dólares al mes más 2 dólares por gigabyte, y otro cuesta 32 dólares al mes más 1 dólar por gigabyte (los dos precios son inventados). Cuestan lo mismo cuando 2g + 20 = g + 32, lo que ocurre en g = 12 gigabytes. Por debajo de 12, el primer plan es más barato; por encima de 12, lo es el segundo.

El laboratorio de gráficas dibuja un ejemplo más pequeño, 3x − 2 = x + 4. Cada lado es una recta, y las rectas se cortan encima de x = 3, donde los dos lados valen 7. Haz iguales a y c y las dos rectas quedan paralelas. Nunca se cortan, así que la ecuación no tiene solución. Ese caso, y el caso en que las rectas quedan una encima de la otra, son el tema de la siguiente unidad.