Incógnita nos dois membros

Em 5x − 3 = 2x + 9, subtrair 2x dos dois membros deixa 3x − 3 = 9, uma equação que você já sabe resolver.

Junte os termos com a variável num só membro

Às vezes a variável aparece dos dois lados do sinal de igual, como em 5x − 3 = 2x + 9. Nenhum dos passos anteriores isola x diretamente, porque, faça o que fizer, continua havendo um x em cada membro. A solução é usar as mesmas propriedades da igualdade num termo que tem variável. Subtraia 2x dos dois membros. À esquerda, 5x − 2x = 3x; à direita, 2x − 2x = 0. A equação vira 3x − 3 = 9, uma equação de dois passos. Some 3 para obter 3x = 12 e divida por 3 para obter x = 4.

Confira na equação original, porque os dois membros contêm x. Primeiro membro: 5 × 4 − 3 = 17. Segundo membro: 2 × 4 + 9 = 17. Eles coincidem. Repare que o valor comum, 17, não é a solução; a solução é o x que o produz. Num gráfico, o primeiro membro y = 5x − 3 e o segundo membro y = 2x + 9 são duas retas com inclinações diferentes, e elas se encontram no ponto (4, 17). O x desse ponto é a resposta, e o y é o valor que os dois membros têm em comum.

Para qual membro a variável deve ir?

Você pode juntar a variável em qualquer um dos membros, e a resposta é a mesma. Um hábito prático é mover o termo com a variável de menor coeficiente, para que o coeficiente que sobra seja positivo. Em 3y + 8 = 7y − 4, subtraia 3y dos dois membros para obter 8 = 4y − 4. Some 4 para obter 12 = 4y e divida por 4 para obter y = 3. Se subtrair 7y, você obtém −4y + 8 = −4, depois −4y = −12 e depois y = 3 de novo. Os dois caminhos estão certos; o primeiro só tem menos sinais negativos para vigiar.

As constantes também podem estar nos dois membros. A ordem que funciona sempre é: primeiro junte os termos com variável num membro, depois junte as constantes no outro, depois divida pelo coeficiente. Aqui vai uma versão do dia a dia. Um plano de celular custa 20 dólares por mês mais 2 dólares por gigabyte, e outro custa 32 dólares por mês mais 1 dólar por gigabyte (os dois preços são inventados). Eles custam o mesmo quando 2g + 20 = g + 32, o que acontece em g = 12 gigabytes. Abaixo de 12, o primeiro plano é mais barato; acima de 12, o segundo é.

O laboratório de gráficos desenha um exemplo menor, 3x − 2 = x + 4. Cada membro é uma reta, e as retas se cruzam acima de x = 3, onde os dois membros valem 7. Deixe a e c iguais e as duas retas ficam paralelas. Elas nunca se cruzam, então a equação não tem solução. Esse caso, e o caso em que as retas ficam uma em cima da outra, são o assunto da próxima unidade.