Incognita in entrambi i membri

In 5x − 3 = 2x + 9, sottraendo 2x da entrambi i membri resta 3x − 3 = 9, un'equazione che sai già risolvere.

Raccogliere i termini con la variabile in un membro

A volte la variabile compare da entrambe le parti del segno di uguale, come in 5x − 3 = 2x + 9. Nessuna delle mosse viste finora isola x direttamente, perché qualunque cosa tu faccia resta una x in ogni membro. La soluzione è usare gli stessi principi di equivalenza su un termine che contiene la variabile. Sottrai 2x da entrambi i membri. A sinistra, 5x − 2x = 3x; a destra, 2x − 2x = 0. L'equazione diventa 3x − 3 = 9, un'equazione in due passi. Aggiungi 3 e ottieni 3x = 12, dividi per 3 e ottieni x = 4.

Verifica nell'equazione di partenza, perché entrambi i membri contengono x. Primo membro: 5 × 4 − 3 = 17. Secondo membro: 2 × 4 + 9 = 17. Coincidono. Nota che il valore comune, 17, non è la soluzione; la soluzione è la x che lo produce. Su un grafico, il primo membro y = 5x − 3 e il secondo membro y = 2x + 9 sono due rette con pendenze diverse, che si incontrano nel punto (4, 17). La x di quel punto è la risposta, e la y è il valore che i due membri hanno in comune.

In quale membro portare la variabile?

Puoi raccogliere la variabile in uno qualsiasi dei due membri: la risposta è la stessa. Un'abitudine pratica è spostare il termine con il coefficiente più piccolo, così quello che resta è positivo. In 3y + 8 = 7y − 4 sottrai 3y da entrambi i membri e ottieni 8 = 4y − 4. Aggiungi 4 e ottieni 12 = 4y, dividi per 4 e ottieni y = 3. Se invece sottrai 7y, ottieni −4y + 8 = −4, poi −4y = −12, poi di nuovo y = 3. Tutte e due le strade sono corrette; la prima ha solo meno segni meno da controllare.

Anche i termini noti possono stare in entrambi i membri. L'ordine che funziona sempre è: prima raccogli i termini con la variabile in un membro, poi i termini noti nell'altro, poi dividi per il coefficiente. Ecco una versione quotidiana. Un piano telefonico costa 20 dollari al mese più 2 dollari per gigabyte, un altro costa 32 dollari al mese più 1 dollaro per gigabyte (prezzi inventati). Costano uguale quando 2g + 20 = g + 32, cioè per g = 12 gigabyte. Sotto i 12 conviene il primo piano; sopra i 12 il secondo.

Il laboratorio grafico disegna un esempio più piccolo, 3x − 2 = x + 4. Ogni membro è una retta, e le rette si incontrano sopra x = 3, dove entrambi i membri valgono 7. Rendi uguali a e c e le due rette diventano parallele. Non si incontrano mai, quindi l'equazione non ha soluzione. Questo caso, e quello in cui le rette si sovrappongono, sono l'argomento della prossima unità.