양변에 미지수가 있는 방정식

5x − 3 = 2x + 9에서 양변에서 2x를 빼면 3x − 3 = 9가 남습니다. 이미 풀 줄 아는 방정식입니다.

미지수 항을 한쪽으로 모으기

5x − 3 = 2x + 9처럼 등호 양쪽에 모두 미지수가 있을 때가 있습니다. 앞에서 배운 방법만으로는 x를 바로 혼자 남길 수 없습니다. 무엇을 하든 양쪽에 x가 하나씩 남기 때문입니다. 해결책은 등식의 성질을 미지수가 든 항에도 똑같이 쓰는 것입니다. 양변에서 2x를 뺍니다. 왼쪽은 5x − 2x = 3x, 오른쪽은 2x − 2x = 0이 됩니다. 방정식은 3x − 3 = 9가 되어 두 단계 방정식으로 바뀝니다. 3을 더해 3x = 12, 3으로 나눠 x = 4입니다.

양쪽 모두에 x가 있으므로 검산은 꼭 처음 방정식으로 합니다. 왼쪽은 5 × 4 − 3 = 17, 오른쪽은 2 × 4 + 9 = 17로 같습니다. 이때 두 쪽이 공통으로 갖는 값 17은 해가 아니라는 점에 주의하세요. 해는 그 값을 만들어 내는 x입니다. 그래프로 보면 왼쪽 y = 5x − 3과 오른쪽 y = 2x + 9는 기울기가 다른 두 직선이고, 점 (4, 17)에서 만납니다. 그 점의 x가 답이고, y는 양쪽이 함께 갖는 값입니다.

미지수는 어느 쪽으로 모을까

미지수는 어느 쪽으로 모아도 답이 같습니다. 실제로는 계수가 작은 쪽의 미지수 항을 옮겨서, 남는 계수가 양수가 되게 하는 습관이 편합니다. 3y + 8 = 7y − 4에서 양변에서 3y를 빼면 8 = 4y − 4가 됩니다. 4를 더해 12 = 4y, 4로 나눠 y = 3입니다. 대신 7y를 빼면 −4y + 8 = −4, −4y = −12를 거쳐 역시 y = 3이 나옵니다. 두 길 모두 맞지만, 앞의 방법이 신경 써야 할 음수 부호가 적습니다.

상수도 양쪽에 있을 수 있습니다. 언제나 통하는 순서는 이렇습니다. 먼저 미지수 항을 한쪽으로 모으고, 그다음 상수를 반대쪽으로 모은 뒤, 계수로 나눕니다. 생활 속 예를 하나 들어 보겠습니다. 휴대전화 요금제 하나는 한 달 20달러에 1기가바이트마다 2달러, 다른 하나는 한 달 32달러에 1기가바이트마다 1달러라고 해 봅시다(지어낸 요금입니다). 두 요금이 같아지는 것은 2g + 20 = g + 32일 때이고, g = 12기가바이트입니다. 12보다 적게 쓰면 첫 요금제가, 많이 쓰면 둘째 요금제가 쌉니다.

그래프 실험실에는 더 작은 예인 3x − 2 = x + 4를 그렸습니다. 양쪽이 각각 직선이 되고, 두 직선은 x = 3 위에서 만나며 그곳에서 양쪽 값은 모두 7입니다. a와 c를 같게 만들면 두 직선이 평행해져 만나지 않으므로 방정식의 해가 없습니다. 이 경우와 두 직선이 완전히 겹치는 경우는 다음 단원에서 다룹니다.