일반적인 풀이 순서와 해가 없거나 무수히 많은 방정식

2y + 6 = 2(y + 3)을 풀면 y가 사라지고 6 = 6이 남습니다. 어떤 수든 해가 됩니다.

어떤 일차방정식에도 통하는 다섯 단계

이제 미지수가 하나인 일차방정식을 푸는 데 필요한 도구는 모두 갖췄습니다. OpenStax 교재는 이것을 일반적인 풀이 순서로 정리합니다. 1단계, 분배법칙으로 괄호를 풀고 동류항을 묶어 각 쪽을 될 수 있는 데까지 간단히 합니다. 2단계, 미지수 항을 모두 한쪽으로 모읍니다. 3단계, 상수항을 모두 반대쪽으로 모읍니다. 4단계, 나누거나 곱해서 미지수의 계수를 1로 만듭니다. 5단계, 처음 방정식에 넣어 확인합니다. 모든 방정식에 다섯 단계가 다 필요한 것은 아니지만, 순서대로 따라가면 긴 문제도 흐트러지지 않습니다.

교재에 나오는 예를 보겠습니다. −6(x + 3) = 24입니다. 괄호 안의 두 항에 모두 −6을 곱하면 −6x − 18 = 24가 됩니다. 미지수 항이 하나뿐이니 2단계는 이미 끝났습니다. 양변에 18을 더해 −6x = 42를 얻고, −6으로 나눠 x = −7입니다. 검산하면 −6 × (−7 + 3) = −6 × (−4) = 24입니다. 여기서 가장 흔한 실수는 −6을 x에만 곱하고 3에는 곱하지 않거나, 부호를 빠뜨리는 것입니다. 헷갈리면 −6 · x + (−6) · 3처럼 곱셈을 풀어 써 보세요.

방정식의 세 가지 종류

대부분의 방정식은 한 값에서만 참이고 나머지 값에서는 거짓입니다. 7x + 8 = −13은 x = −3일 때만 참입니다. OpenStax 교재는 이런 방정식을 조건 방정식이라고 부릅니다. 이번에는 2y + 6 = 2(y + 3)을 풀어 봅시다. 오른쪽을 분배하면 2y + 6 = 2y + 6입니다. 양변에서 2y를 빼면 6 = 6이 남습니다. 미지수는 사라졌는데 남은 문장은 참입니다. 어떤 y를 넣어도 성립한다는 뜻이고, 이런 방정식을 항등식이라고 합니다. 해는 모든 실수입니다.

세 번째 종류는 반대입니다. 5z = 5z − 1에서 양변에서 5z를 빼면 0 = −1이 됩니다. 미지수는 또 사라졌지만 이번에 남은 문장은 거짓이고, 어떤 z를 넣어도 참이 될 수 없습니다. 이런 방정식을 모순 방정식이라고 하며 해가 없습니다. 그러니 풀다가 미지수가 사라지면 남은 문장을 보세요. 참이면 모든 수가 해이고, 거짓이면 해가 없습니다. 어느 경우든 x = 0이라고 쓰면 안 됩니다.

그래프 실험실을 보면 그 까닭이 보입니다. ax + b = cx + d에서 양쪽은 기울기가 a와 c인 두 직선입니다. a와 c가 다르면 두 직선은 한 번 만나고, 조건 방정식이 됩니다. a = c이고 b = d이면 두 직선이 같은 직선이라 완전히 겹치고, 항등식이 됩니다. a = c인데 b와 d가 다르면 두 직선이 평행해 만나지 않으니 모순 방정식입니다. a = 2, b = 6, c = 2, d = 6으로 놓고 주황 직선이 파란 직선을 덮는 것을 보세요.