곱하기와 나누기로 풀기

똑같은 공책 4권이 12달러라면 1권은 12 ÷ 4 = 3달러입니다. 방정식 4n = 12를 양변을 4로 나눠서 푼 것입니다.

변수에 수가 곱해져 있을 때

지난 단원에서는 변수에 수가 더해지거나 빠져 있었습니다. 이번에는 변수에 수가 곱해져 있습니다. 4n = 12에서 n에는 4가 곱해져 있습니다. 4를 빼는 것은 도움이 되지 않습니다. 홀로 떨어진 4가 없기 때문입니다. 4를 곱한 것의 반대는 4로 나누는 것이니, 양변을 4로 나눕니다. 4n ÷ 4 = 12 ÷ 4이고, n = 3이 남습니다. 이것이 등식의 나눗셈 성질입니다. a = b이고 c가 0이 아니면 a ÷ c = b ÷ c입니다. 저울로 말하면 양쪽 접시를 각각 똑같이 네 묶음으로 나누고 한 묶음씩만 남기는 것입니다.

왜 c가 0이면 안 될까요? 0으로 나누는 것은 뜻이 없어서, 나누는 수가 0이 아닐 때만 이 성질이 성립합니다. 다음 성질에도 같은 주의가 따릅니다. 등식의 곱셈 성질은 a = b이면 a × c = b × c라는 것입니다. 나눗셈을 되돌릴 때 씁니다. x ÷ 5 = 6, 다른 말로 x/5 = 6이면 양변에 5를 곱해 x = 30을 얻습니다. 30 ÷ 5 = 6이니 맞습니다. 양변에 0을 곱하면 어떤 방정식이든 0 = 0이 되어 아무것도 알려 주지 않으므로, 여기서도 0은 쓰지 않습니다.

음수 계수와 분수 계수

부호는 조심해야 합니다. −7y = 42에서 계수는 −7이니 양변을 −7로 나눕니다. y = 42 ÷ (−7) = −6입니다. −7 × (−6) = 42로 확인할 수 있습니다. −x = 5는 특별한 경우입니다. 1이 쓰여 있지 않아도 계수는 −1입니다. 양변을 −1로 나누거나 −1을 곱하면 x = −5가 됩니다. −7 대신 7로 나누면 답의 부호가 뒤집히는데, 이런 실수가 아주 흔합니다. 나누기 전에 계수를 부호까지 함께 읽으면 막을 수 있습니다.

계수가 분수이면 나누기보다 역수를 곱하는 편이 빠릅니다. (2/3)x = 18에서 2/3의 역수는 3/2이고, 3/2 × 2/3 = 1입니다. 양변에 3/2을 곱하면 x = 18 × 3/2 = 27입니다. 27의 3분의 2는 18이니 맞습니다. 두 단계로 나눠 생각할 수도 있습니다. 먼저 3을 곱해 2x = 54를 만들고, 그다음 2로 나누면 똑같이 27이 나옵니다. 역수를 곱하면 이 두 단계를 한 번에 하는 셈입니다.

아래 그래프 실험실의 파란 직선은 3x = 12의 왼쪽인 y = 3x이고, 주황 직선은 y = 12입니다. 두 직선은 x = 4 위에서 만납니다. 계수를 음수로 바꾸면 파란 직선이 반대로 기울어 만나는 점이 0보다 왼쪽으로 갑니다. a를 0으로 두면 파란 직선이 가로로 눕고, d도 0이 아닌 한 주황 직선과 만나지 않습니다. 0으로 나눌 수 없다는 규칙과 같은 이야기입니다.