かけ算・わり算で解く

同じノート4冊が12ドルなら、1冊は 12 ÷ 4 = 3 ドルです。これは方程式 4n = 12 で、両辺を 4 でわって解いています。

変数に数がかけられているとき

前の単元では、変数に数が足されたり引かれたりしていました。ここでは変数に数がかけられています。4n = 12 では n に 4 がかけられています。4 を引いても役に立ちません。取り除ける単独の 4 がないからです。4 をかけることの逆は 4 でわることなので、両辺を 4 でわります。4n ÷ 4 = 12 ÷ 4 となり、n = 3 が残ります。これが等式の性質（わり算）です。a = b で c がゼロでないとき、a ÷ c = b ÷ c です。天びんで言えば、両方の皿をそれぞれ四つの等しい組に分け、両側から一組ずつ残すことにあたります。

なぜ c はゼロであってはいけないのでしょうか。ゼロでわることには意味がないので、この性質はゼロでない数でわるときにしか使えません。次の性質にも同じ注意があてはまります。等式の性質（かけ算）は、a = b ならば a × c = b × c というものです。これはわり算を元に戻します。x ÷ 5 = 6（x/5 = 6 とも書きます）では、両辺に 5 をかけて x = 30 になります。確かめると 30 ÷ 5 = 6 です。両辺にゼロをかけると、どんな方程式も 0 = 0 という正しい文になってしまい、何もわからないので、ここでもゼロは使いません。

負の係数と分数の係数

符号には注意が必要です。−7y = 42 では係数が −7 なので、両辺を −7 でわります。y = 42 ÷ (−7) = −6 です。さっと確かめると −7 × (−6) = 42 です。特別な場合が −x = 5 です。1 は書かれていませんが、係数は −1 です。両辺を −1 でわるか −1 をかけると、x = −5 になります。よくある間違いは −7 ではなく 7 でわってしまうことで、答えの符号が逆になります。わる前に係数を符号ごと読み取れば防げます。

係数が分数のときは、わるよりも逆数をかけるほうが速くできます。(2/3)x = 18 では 2/3 の逆数は 3/2 で、3/2 × 2/3 = 1 です。両辺に 3/2 をかけると、x = 18 × 3/2 = 27 です。確かめ：27 の三分の二は 18 です。二段階で考えることもできます。3 をかけて 2x = 54 とし、それから 2 でわっても、同じ 27 になります。逆数なら二つの操作を一度にできます。

下のグラフラボでは、青い直線が 3x = 12 の左辺 y = 3x、オレンジの直線が y = 12 です。二つは x = 4 の上で交わります。係数を負の数にすると青い直線が逆向きに傾き、交点はゼロより左に移ります。a を 0 にすると青い直線は水平になり、d も 0 でない限りオレンジの直線とは交わりません。これは、ゼロではわれないというルールと一致しています。