二段階の方程式

3x + 5 = 20 を解くには、先に + 5 を、次に × 3 を元に戻します。3x = 15、そして x = 5 です。

二つの操作を逆の順に戻す

たいていの方程式は、一回の操作では解けません。3x + 5 = 20 では、x に二つのことが起きています。3 がかけられ、それから 5 が足されました。x を取り出すには、靴下より先に靴を脱ぐように、逆の順で元に戻します。まず両辺から 5 を引くと 3x = 15 になります。次に両辺を 3 でわると x = 5 になります。もとの方程式で確かめましょう。3 × 5 + 5 = 20 で、右辺も 20 なので、答えは合っています。

なぜ足し算を先に戻すのでしょうか。いきなり全体を 3 でわることもできますが、そうすると x + 5/3 = 20/3 となり、正しくても式がややこしくなります。先に定数を取り除けば変数の項が一つだけ残り、わり算一回で終わります。ax + b = c の形の方程式なら、どれも同じ順で解けます。b を引いてから a でわります。記号で書けば答えは x = (c − b) ÷ a ですが、実際には公式を覚えるより二つの手順を行うほうが簡単です。

符号と文章題

負の数があっても順番は変わらず、計算が変わるだけです。−4y − 7 = 9 では、両辺に 7 を足して −4y = 16 とし、−4 でわって y = −4 です。確かめ：−4 × (−4) − 7 = 16 − 7 = 9。12 − 2x = 4 のように定数が先にあるときは、12 + (−2)x = 4 と読むとわかりやすくなります。12 を引いて −2x = −8 とし、−2 でわって x = 4 です。符号を数と一緒に書いておけば、手順を間違えません。

二段階の方程式は、決まった金額に単位あたりの量が加わる場面ならいつでも出てきます。作り話の例を見てみましょう。レンタル自転車は基本料金5ドルに1時間ごとに3ドルかかり、あなたは20ドル払いました。h を時間数とすると料金は 3h + 5 なので、3h + 5 = 20 で h = 5 時間です。決まった金額が最初に取り除く定数で、単位あたりの量が最後にわる係数です。計算の前に文章から方程式を立て、変数が何を表すかを自分のことばで言いましょう。

グラフラボでは、青い直線が y = 3x + 5、オレンジの直線が y = 20 です。b を動かすと、青い直線は傾きを変えずに上下に動きます。a を動かすと、点 (0, b) を中心に傾きが変わります。どちらの場合も、交点が二段階の方程式の解です。ラボの下には手順が書いてあるので、順番どおりに言う練習をしましょう。