方程式と解

2x + 1 = 7 で両辺を等しくする数はただ一つ、3 です。2 × 3 + 1 = 7 だからです。

方程式とはどんなものか

方程式とは、二つの式が同じ値であることを表す文です。間にある記号 = が、その主張にあたります。2x + 1 = 7 と書くと、x がどんな数を表すにしても、それを2倍して1を足すと7になる、と言っていることになります。この主張を正しくする数もあれば、誤りにする数もあります。正しくする数をその方程式の解といい、そのような数をすべて求めることを、方程式を解くといいます。OpenStax は方程式を解くことをパズルにたとえています。解が答えで、その答えが当てはまることを確かめるまでパズルは終わりません。

方程式の中の文字を変数といいます。まだわからない数の代わりに置かれる文字です。変数にかけられている数をその変数の係数といいます。2x + 1 = 7 では x の係数は 2 です。1 や 7 のように単独の数は定数です。このコースの方程式はすべて一次方程式で、変数が一次の形でしか現れません。x² も、根号の中の x も、分母の x もありません。一つの変数の一次方程式にはふつう解がちょうど一つあり、次の単元からは、それをいつでも見つけられる短い手順を組み立てていきます。

代入して解を確かめる

答えの候補を調べるのに、方程式の解き方を知っている必要はありません。変数をその数に置きかえ、それぞれの辺を別々に計算して比べます。2x + 1 = 7 で x = 3 なら、左辺は 2 × 3 + 1 = 7、右辺は 7 なので、この文は正しく、3 は解です。x = 4 で試すと、左辺は 9 となり 7 ではないので、4 は解ではありません。計算するときは二つの辺を分けておきましょう。2 × 3 + 1 = 7 = 7 のように長くつなげると間違いが隠れますが、それぞれの辺を別の行に書けば、どこで一致し、どこで違うのかがはっきりします。

下のグラフラボは、方程式の両辺をそれぞれ直線として描きます。青い直線は左辺の y = 2x + 1、オレンジの直線は右辺の y = 7 です。二つの直線は両辺の値が等しくなるところで交わり、その交点の x が解です。a、b、c、d のスライダーを動かすと、交点も一緒に動きます。この図は両辺に変数がある方程式の単元でもう一度登場し、グラフのコースでも出てきます。そこでは二つの直線が交わることが連立方程式の考え方のすべてです。