Équations et solutions

Dans 2x + 1 = 7, un seul nombre rend les deux membres égaux : 3, car 2 × 3 + 1 = 7.

Ce qui fait une équation

Une équation est une affirmation selon laquelle deux expressions ont la même valeur. Le signe entre elles, =, est l'affirmation. Écrire 2x + 1 = 7, c'est dire que, quel que soit le nombre que représente x, son double augmenté de 1 donne 7. Certains nombres rendent cette affirmation vraie et d'autres la rendent fausse. Un nombre qui la rend vraie s'appelle une solution de l'équation, et résoudre, c'est trouver tous ces nombres. OpenStax compare la résolution d'une équation à une énigme : la solution est la réponse, et l'énigme n'est pas terminée tant que tu n'as pas vérifié que la réponse convient.

Les lettres d'une équation s'appellent des inconnues (ou variables). Elles tiennent la place d'un nombre que l'on ne connaît pas encore. Le nombre qui multiplie une inconnue est son coefficient : dans 2x + 1 = 7, le coefficient de x est 2. Un nombre seul, comme le 1 et le 7, est une constante. Dans ce cours, toutes les équations sont du premier degré : l'inconnue n'a pas d'exposant. Il n'y a pas de x², pas de x sous une racine carrée et pas de x au dénominateur. Une équation du premier degré à une inconnue a en général exactement une solution, et les chapitres suivants construisent une courte liste de gestes qui la trouvent à tous les coups.

Vérifier une solution en remplaçant

Il n'est pas nécessaire de savoir résoudre une équation pour tester une réponse possible. Remplace l'inconnue par le nombre, calcule chaque membre séparément, puis compare. Pour 2x + 1 = 7 et x = 3, le membre de gauche devient 2 × 3 + 1 = 7 et le membre de droite vaut 7 : l'égalité est vraie, donc 3 est une solution. Essaie plutôt x = 4 : le membre de gauche devient 9, qui n'est pas 7, donc 4 n'est pas une solution. Garde les deux membres séparés pendant le calcul. Une longue chaîne comme 2 × 3 + 1 = 7 = 7 cache les erreurs, alors qu'écrire chaque membre sur sa propre ligne montre exactement où ils sont égaux ou différents.

Le laboratoire de graphiques ci-dessous trace chaque membre d'une équation sous forme de droite. La droite bleue est y = 2x + 1, le membre de gauche, et la droite orange est y = 7, le membre de droite. Elles se croisent là où les deux membres ont la même valeur, et l'abscisse de ce point d'intersection est la solution. Déplace les curseurs a, b, c et d et le point d'intersection se déplace avec eux. Cette image revient dans le chapitre sur l'inconnue des deux côtés, puis dans le cours sur les graphiques, où deux droites qui se croisent sont toute l'idée d'un système d'équations.