L'inconnue des deux côtés

Dans 5x − 3 = 2x + 9, soustraire 2x aux deux membres laisse 3x − 3 = 9, une équation que tu sais déjà résoudre.

Regrouper les termes en x d'un côté

Parfois, l'inconnue apparaît des deux côtés du signe égal, comme dans 5x − 3 = 2x + 9. Aucun des gestes précédents n'isole x directement, car quoi que tu fasses, il reste un x de chaque côté. La solution consiste à appliquer les mêmes propriétés de l'égalité à un terme qui contient l'inconnue. Soustrais 2x aux deux membres. À gauche, 5x − 2x = 3x. À droite, 2x − 2x = 0. L'équation devient 3x − 3 = 9, une équation en deux étapes. Ajoute 3 pour obtenir 3x = 12, divise par 3 pour obtenir x = 4.

Vérifie dans l'équation de départ, car les deux membres contiennent x. Gauche : 5 × 4 − 3 = 17. Droite : 2 × 4 + 9 = 17. Ils sont égaux. Remarque que la valeur commune, 17, n'est pas la solution. La solution est le x qui la produit. Sur un graphique, le membre de gauche y = 5x − 3 et le membre de droite y = 2x + 9 sont deux droites de pentes différentes, qui se rencontrent au point (4, 17). L'abscisse de ce point est la réponse, et l'ordonnée est la valeur commune aux deux membres.

De quel côté mettre l'inconnue ?

Tu peux regrouper l'inconnue d'un côté ou de l'autre : la réponse est la même. Une habitude pratique consiste à déplacer le plus petit terme en x, pour que le coefficient restant soit positif. Dans 3y + 8 = 7y − 4, soustrais 3y aux deux membres pour obtenir 8 = 4y − 4. Ajoute 4 pour obtenir 12 = 4y, et divise par 4 pour obtenir y = 3. Si tu soustrais plutôt 7y, tu obtiens −4y + 8 = −4, puis −4y = −12, puis de nouveau y = 3. Les deux chemins sont justes. Le premier a simplement moins de signes moins à surveiller.

Les constantes peuvent aussi être des deux côtés. L'ordre qui marche à tous les coups est : d'abord regrouper les termes en x d'un côté, puis les constantes de l'autre, puis diviser par le coefficient. En voici une version de tous les jours. Un forfait téléphonique coûte 20 dollars par mois plus 2 dollars par gigaoctet, et un autre 32 dollars par mois plus 1 dollar par gigaoctet (deux prix inventés). Ils coûtent la même chose quand 2g + 20 = g + 32, c'est-à-dire pour g = 12 gigaoctets. En dessous de 12, le premier forfait est moins cher. Au-dessus de 12, c'est le second.

Le laboratoire de graphiques trace un exemple plus petit, 3x − 2 = x + 4. Chaque membre est une droite, et les droites se croisent au-dessus de x = 3, où les deux membres valent 7. Rends a et c égaux et les deux droites deviennent parallèles. Elles ne se croisent jamais, donc l'équation n'a pas de solution. Ce cas, et celui où les droites sont confondues, sont le sujet du chapitre suivant.