両辺に変数がある方程式

5x − 3 = 2x + 9 では、両辺から 2x を引くと 3x − 3 = 9 が残ります。これはもう解き方を知っている方程式です。

変数の項を片方の辺に集める

5x − 3 = 2x + 9 のように、等号の両側に変数が出てくることがあります。これまでの操作では x を直接取り出せません。何をしても、両辺に x が残るからです。そこで、変数を含む項にも同じ等式の性質を使います。両辺から 2x を引きましょう。左辺は 5x − 2x = 3x、右辺は 2x − 2x = 0 です。方程式は 3x − 3 = 9 という二段階の方程式になります。3 を足して 3x = 12、3 でわって x = 4 です。

両辺に x があるので、もとの方程式で確かめます。左辺：5 × 4 − 3 = 17。右辺：2 × 4 + 9 = 17。一致しました。共通の値 17 は解ではないことに注意しましょう。解は、その値を生む x です。グラフでは、左辺 y = 5x − 3 と右辺 y = 2x + 9 は傾きの違う二本の直線で、点 (4, 17) で交わります。その点の x が答えで、y は両辺が共有する値です。

変数はどちらの辺に集める？

変数はどちらの辺に集めてもよく、答えは同じです。実用的なこつは、小さいほうの変数の項を移すことです。そうすると残る係数が正になります。3y + 8 = 7y − 4 では、両辺から 3y を引いて 8 = 4y − 4 とします。4 を足して 12 = 4y、4 でわって y = 3 です。代わりに 7y を引くと、−4y + 8 = −4、−4y = −12 となり、やはり y = 3 です。どちらの道も正しいのですが、一つ目のほうが気をつける負の符号が少なくて済みます。

定数が両辺にあることもあります。いつでも使える順番はこうです。まず変数の項を片方の辺に集め、次に定数をもう片方の辺に集め、最後に係数でわります。身近な例を見てみましょう。ある携帯電話のプランは月20ドルに1ギガバイトごとに2ドル、別のプランは月32ドルに1ギガバイトごとに1ドルかかります（どちらも架空の料金です）。二つの料金が等しくなるのは 2g + 20 = g + 32 のときで、それは g = 12 ギガバイトです。12 より少なければ一つ目のプランが安く、12 より多ければ二つ目のプランが安くなります。

グラフラボでは、もっと小さな例 3x − 2 = x + 4 を描きます。それぞれの辺が直線で、二本の直線は x = 3 の上で交わります。そこでは両辺がどちらも 7 です。a と c を等しくすると、二本の直線は平行になります。交わらないので、方程式には解がありません。この場合と、直線がぴったり重なる場合は、次の単元で扱います。